Bài 15 Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Lớp 7Toán 7 Tập 116 câu hỏiBài tập
Phần 1
Câu 1
(Bài 4.31 trang 64 SBT Toán 7 Tập 1) Trong mỗi hình sau (Hình 4.33) có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?
AHình a: ΔABC = ΔADC vì AB = AD, ∠ABC = ∠ADC = 90°, BC = CD. Hình b: ΔEFG = ΔKHG vì GF = GH, ∠FEG = ∠GKH = 90°, ∠EGF = ∠KGH. Hình c: ΔOMN = ΔOQP vì MN = PQ, ∠OMN = ∠OQP = 90°, ∠ONM = ∠OPQ. Hình d: ΔXYZ = ΔSTZ vì YZ = TZ, ∠YXZ = ∠TSZ = 90°, XZ = SZ. (*)
BHình a: ΔABC = ΔACD vì AB = AD, AC là cạnh chung. Hình b: ΔEFG = ΔGHK vì EF = HK. Hình c: ΔOMN = ΔOPQ vì OM = OQ. Hình d: ΔXYZ = ΔZST vì XY = ST.
CHình a: ΔABC = ΔBCD vì BC = CD. Hình b: ΔEFG = ΔKHG vì EF = KH. Hình c: ΔOMN = ΔOQP vì ON = OP. Hình d: ΔXYZ = ΔTSZ vì YX = TS.
DHình a: ΔABD = ΔBCD vì AB = CD. Hình b: ΔEGF = ΔGHK vì có góc đối đỉnh. Hình c: ΔONM = ΔOPQ vì có một góc vuông. Hình d: ΔXYZ = ΔSTZ vì có một cạnh chung.
Câu 2
(Bài 4.32 trang 64 SBT Toán 7 Tập 1) Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.34. Biết rằng E là trung điểm của BC, chứng minh rằng ΔABE = ΔDCE. Chọn cách chứng minh đúng.
AVì E là trung điểm của BC nên BE = CE. Ta có ∠ABE = ∠DCE = 90° và ∠AEB = ∠CED vì là hai góc đối đỉnh. Do đó ΔABE = ΔDCE theo trường hợp góc nhọn - cạnh góc vuông. (*)
BVì E là trung điểm của BC nên AE = DE. Do đó ΔABE = ΔDCE.
CVì ∠AEB = ∠CED nên ΔABE = ΔDCE.
DVì AB = DC nên ΔABE = ΔDCE theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.
Câu 3
(Bài 4.33 trang 65 SBT Toán 7 Tập 1) Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.35. Biết rằng AC vuông góc với BD, EA = EB và EC = ED. Chứng minh rằng ΔAED = ΔBEC. Chọn cách chứng minh đúng.
AXét ΔAED và ΔBEC có AE = BE, ∠AED = ∠BEC = 90°, ED = EC. Do đó ΔAED = ΔBEC theo trường hợp hai cạnh góc vuông. (*)
BXét ΔAED và ΔBEC có AE = BE nên ΔAED = ΔBEC.
CXét ΔAED và ΔBEC có ED = EC nên ΔAED = ΔBEC.
DVì AC vuông góc với BD nên mọi tam giác trong hình đều bằng nhau.
Câu 4
(Bài 4.33 trang 65 SBT Toán 7 Tập 1) Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.35. Biết rằng AC vuông góc với BD, EA = EB và EC = ED. Chứng minh rằng ΔABC = ΔBAD. Chọn cách chứng minh đúng.
ATừ EA = EB và EC = ED suy ra AC = BD. Từ ΔAED = ΔBEC suy ra AD = BC. Xét ΔABC và ΔBAD có BC = AD, AB là cạnh chung, AC = BD nên ΔABC = ΔBAD theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh. (*)
BVì AC vuông góc với BD nên ΔABC = ΔBAD.
CVì EA = EB nên ΔABC = ΔBAD.
DVì EC = ED nên ΔABC = ΔBAD.
Câu 5
(Bài 4.34 trang 65 SBT Toán 7 Tập 1) Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD (Hình 4.36). Chứng minh rằng BN = CM. Chọn cách chứng minh đúng.
AVì ABCD là hình vuông nên AB = BC = AD. Vì M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AD nên AN = BM. Xét ΔANB và ΔBMC có AN = BM, AB = BC, ∠NAB = ∠MBC = 90°. Do đó ΔANB = ΔBMC theo trường hợp hai cạnh góc vuông. Suy ra BN = CM. (*)
BVì M và N là trung điểm nên BN = CM ngay lập tức.
CVì AB = BC nên BN = CM.
DVì ABCD là hình vuông nên mọi đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến trung điểm cạnh đều bằng nhau.
Câu 6
(Bài 4.34 trang 65 SBT Toán 7 Tập 1) Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD (Hình 4.36). Chứng minh rằng BN vuông góc với CM. Chọn cách chứng minh đúng.
AGọi E là giao điểm của BN và CM. Từ ΔANB = ΔBMC suy ra ∠BNA = ∠CMB. Trong tam giác BME và tam giác ABN, suy ra ∠BEM = 180° - ∠EMB - ∠MBE = 180° - ∠BNA - ∠ABN = ∠BAN = 90°. Vậy BN vuông góc với CM. (*)
BVì BN = CM nên BN vuông góc với CM.
CVì M và N là trung điểm nên BN luôn vuông góc với CM.
DVì ABCD là hình vuông nên mọi đường thẳng trong hình đều vuông góc với nhau.
Câu 7
(Bài 4.35 trang 65 SBT Toán 7 Tập 1) Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.37. Biết rằng ∠DAB = ∠CAB, hãy chứng minh CB = DB. Chọn cách chứng minh đúng.
AXét ΔABC và ΔABD có AB là cạnh chung, ∠CAB = ∠DAB, ∠ACB = ∠ADB = 90°. Do đó ΔABC = ΔABD theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn. Suy ra CB = DB. (*)
BVì ∠DAB = ∠CAB nên CB = DB.
CVì AB là cạnh chung nên ΔABC = ΔABD. Suy ra CB = DB.
DVì ∠ACB = ∠ADB = 90° nên CB = DB.
Câu 8
(Bài 4.36 trang 65 SBT Toán 7 Tập 1) Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác ABC và DEF như Hình 4.38. Biết rằng ΔABC = ΔDEF, hãy chứng minh AH = DK. Chọn cách chứng minh đúng.
AVì ΔABC = ΔDEF nên AB = DE và ∠B = ∠E. Vì AH và DK là hai đường cao nên ∠AHB = ∠DKE = 90°. Xét ΔABH và ΔDEK có ∠AHB = ∠DKE = 90°, AB = DE, ∠B = ∠E. Do đó ΔABH = ΔDEK theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn. Suy ra AH = DK. (*)
BVì ΔABC = ΔDEF nên AH = DK ngay lập tức, không cần chứng minh.
CVì AH và DK đều là đường cao nên AH = DK.
DVì ∠AHB = ∠DKE = 90° nên ΔABH = ΔDEK.
Câu 9
(Bài 4.37 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1) Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của tam giác ABC và DEF như Hình 4.39. Chứng minh rằng: Nếu AB = DE, BC = EF và AH = DK thì ΔABC = ΔDEF. Chọn cách chứng minh đúng.
AVì AH và DK là hai đường cao nên ∠AHB = ∠DKE = 90°. Xét ΔABH và ΔDEK có ∠AHB = ∠DKE = 90°, AB = DE, AH = DK nên ΔABH = ΔDEK theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông. Suy ra ∠B = ∠E. Xét ΔABC và ΔDEF có AB = DE, ∠B = ∠E, BC = EF nên ΔABC = ΔDEF theo trường hợp cạnh - góc - cạnh. (*)
BVì AB = DE và BC = EF nên ΔABC = ΔDEF.
CVì AH = DK nên ΔABC = ΔDEF.
DVì AH và DK là hai đường cao nên ΔABC = ΔDEF.
Câu 10
(Bài 4.37 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1) Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của tam giác ABC và DEF như Hình 4.39. Chứng minh rằng: Nếu AB = DE, AC = DF và AH = DK thì ΔABC = ΔDEF. Chọn cách chứng minh đúng.
AXét ΔABH và ΔDEK có ∠AHB = ∠DKE = 90°, AB = DE, AH = DK nên ΔABH = ΔDEK, suy ra BH = EK. Xét ΔACH và ΔDFK có ∠AHC = ∠DKF = 90°, AC = DF, AH = DK nên ΔACH = ΔDFK, suy ra CH = FK. Do đó BC = EF. Xét ΔABC và ΔDEF có AB = DE, AC = DF, BC = EF nên ΔABC = ΔDEF. (*)
BVì AB = DE và AC = DF nên ΔABC = ΔDEF.
CVì AH = DK nên BC = EF, do đó ΔABC = ΔDEF.
DVì AH và DK đều là đường cao nên hai tam giác ABC và DEF bằng nhau.
Câu 11
(Bài 4.38 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1) Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng AC = BD. Chọn cách chứng minh đúng.
[Hình Ảnh]
[Hình Ảnh]
AXét ΔABC và ΔDCB có ∠BAC = ∠CDB = 90°, AB = DC, BC là cạnh chung. Do đó ΔABC = ΔDCB theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông. Suy ra AC = BD. (*)
BVì AB = DC nên AC = BD.
CVì BC là cạnh chung nên AC = BD.
DVì ∠BAC = ∠CDB = 90° nên AC = BD.
Câu 12
(Bài 4.38 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1) Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng AD // BC. Chọn cách chứng minh đúng.
ATừ ΔABC = ΔDCB suy ra AC = BD và ∠ACB = ∠DBC. Xét ΔABD và ΔDCA có AB = CD, BD = AC, AD là cạnh chung nên ΔABD = ΔDCA. Suy ra ∠ADB = ∠DAC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, kết hợp các góc đối đỉnh tại O suy ra ∠CBD = ∠ADB. Hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC. (*)
BVì AB = DC nên AD // BC ngay lập tức.
CVì AC = BD nên AD // BC.
DVì hai tam giác ABC và DCB bằng nhau nên AD vuông góc với BC.
Câu 13
(Bài 4.39 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1) Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AD và BC lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho AE = CF (Hình 4.41). Chứng minh rằng AF = CE. Chọn cách chứng minh đúng.
AVì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC và AB = CD. Ta có AD = AE + ED, BC = BF + FC, mà AE = CF nên ED = BF. Xét ΔABF và ΔCDE có AB = CD, BF = ED, ∠ABF = ∠CDE = 90°. Do đó ΔABF = ΔCDE theo trường hợp hai cạnh góc vuông. Suy ra AF = CE. (*)
BVì AE = CF nên AF = CE.
CVì ABCD là hình chữ nhật nên AF = CE ngay lập tức.
DVì AB = CD nên AF = CE.
Câu 14
(Bài 4.39 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1) Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AD và BC lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho AE = CF (Hình 4.41). Chứng minh rằng AF // CE. Chọn cách chứng minh đúng.
ATừ ΔABF = ΔCDE suy ra ∠AFB = ∠CED. Lại có AD // BC nên ∠CED = ∠ECF. Do đó ∠AFB = ∠ECF. Hai góc này ở vị trí đồng vị nên AF // CE. (*)
BVì AF = CE nên AF // CE.
CVì AE = CF nên AF // CE.
DVì ABCD là hình chữ nhật nên mọi đoạn thẳng nối từ AD đến BC đều song song với nhau.
Câu 15
(Bài 4.40 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1) Cho năm điểm A, B, C, D, E như Hình 4.42, trong đó DA = DC, DB = DE. Chứng minh rằng AB = CE. Chọn cách chứng minh đúng.
AXét ΔABD và ΔCED có ∠ADB = ∠CDE = 90°, DA = DC, DB = DE. Do đó ΔABD = ΔCED theo trường hợp hai cạnh góc vuông. Suy ra AB = CE. (*)
BVì DA = DC nên AB = CE.
CVì DB = DE nên AB = CE.
DVì ∠ADB = ∠CDE = 90° nên AB = CE.
Câu 16
(Bài 4.40 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1) Cho năm điểm A, B, C, D, E như Hình 4.42, trong đó DA = DC, DB = DE. Cho đường thẳng CE cắt AB tại F. Chứng minh rằng ∠BFC = 90°. Chọn cách chứng minh đúng.
ATừ ΔABD = ΔCED suy ra ∠BAD = ∠ECD. Trong tam giác ABD vuông tại D, ta có ∠BAD + ∠ABC = 90°. Do đó ∠ECD + ∠ABC = 90°. Mà ∠CBF chính là ∠ABC và ∠BCF chính là ∠ECD nên trong tam giác BFC có ∠CBF + ∠BCF = 90°. Suy ra ∠BFC = 90°. (*)
BVì AB = CE nên ∠BFC = 90°.
CVì DA = DC và DB = DE nên CE vuông góc với AB.
DVì ∠ADB = 90° nên ∠BFC = 90°.