Bài 16 Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng
Lớp 7Toán 7 Tập 114 câu hỏiBài tập
Phần 1
Câu 1
(Bài 4.41 trang 68 SBT Toán 7 Tập 1) Trong những tam giác dưới đây ở Hình 4.46, tam giác nào là tam giác cân, cân tại đỉnh nào? Vì sao?
ATam giác ABC cân tại A vì AB = AC; tam giác DEF không phải tam giác cân; tam giác MNP cân tại M vì ∠P = ∠N = 50°; tam giác KGH cân tại K vì ∠G = ∠H = 70°.
BTam giác ABC cân tại B; tam giác DEF cân tại F; tam giác MNP cân tại N; tam giác KGH cân tại G.
CChỉ có tam giác ABC là tam giác cân.
DTam giác ABC không cân; tam giác DEF cân tại D; tam giác MNP không cân; tam giác KGH cân tại H.
Câu 2
(Bài 4.42 trang 68 SBT Toán 7 Tập 1) Tính số đo các góc còn lại trong các tam giác cân ở Hình 4.47.
ATam giác ABC có ∠C = 65°, ∠A = 50°; tam giác MNP có ∠N = 52,5°, ∠P = 52,5°.
BTam giác ABC có ∠C = 50°, ∠A = 65°; tam giác MNP có ∠N = 75°, ∠P = 30°.
CTam giác ABC có ∠C = 65°, ∠A = 60°; tam giác MNP có ∠N = 50°, ∠P = 55°.
DTam giác ABC có ∠C = 55°, ∠A = 60°; tam giác MNP có ∠N = 52,5°, ∠P = 75°.
Câu 3
(Bài 4.43 trang 69 SBT Toán 7 Tập 1) Tam giác ABC có hai đường cao BE và CF bằng nhau như Hình 4.48. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A. Chọn cách chứng minh đúng.
AXét hai tam giác vuông AEB và AFC có BE = CF, ∠ABE = ∠ACF vì cùng phụ với ∠A. Do đó ΔAEB = ΔAFC. Suy ra AB = AC, nên tam giác ABC cân tại A.
BVì BE = CF nên suy ra ngay AB = AC, do đó tam giác ABC cân tại A.
CVì BE và CF đều là đường cao nên BE = CF luôn đúng, do đó tam giác ABC cân tại A.
DVì tam giác ABC có hai đường cao nên tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 4
(Bài 4.44 trang 69 SBT Toán 7 Tập 1) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA như Hình 4.49. Chứng minh rằng ΔABD vuông tại B. Chọn cách chứng minh đúng.
AXét ΔAMC và ΔDMB có MA = MD, MC = MB và ∠AMC = ∠DMB nên ΔAMC = ΔDMB. Suy ra ∠DBM = ∠ACM. Vì ∠ABC + ∠ACB = 90° nên ∠ABD = ∠ABC + ∠DBM = 90°. Do đó ΔABD vuông tại B.
BVì M là trung điểm của BC nên ΔABD vuông tại B.
CVì MD = MA nên ΔABD vuông tại B.
DVì tam giác ABC vuông tại A nên mọi tam giác có đỉnh A đều là tam giác vuông.
Câu 5
(Bài 4.44 trang 69 SBT Toán 7 Tập 1) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA như Hình 4.49. Chứng minh rằng ΔABD = ΔBAC. Chọn cách chứng minh đúng.
ATừ ΔAMC = ΔDMB suy ra BD = AC. Lại có ΔABD vuông tại B, ΔBAC vuông tại A và AB là cạnh chung. Do đó ΔABD = ΔBAC theo trường hợp hai cạnh góc vuông.
BVì AB là cạnh chung nên ΔABD = ΔBAC.
CVì MD = MA nên ΔABD = ΔBAC.
DVì M là trung điểm của BC nên ΔABD = ΔBAC.
Câu 6
(Bài 4.44 trang 69 SBT Toán 7 Tập 1) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA như Hình 4.49. Chứng minh rằng các tam giác AMB, AMC là các tam giác cân tại M. Chọn cách chứng minh đúng.
ATừ ΔABD = ΔBAC suy ra ∠BDA = ∠ACB. Lại có AC // DB nên ∠CAD = ∠BDA. Do đó ∠CAM = ∠ACM, suy ra ΔAMC cân tại M. Khi đó MA = MC. Mà MB = MC nên MA = MB = MC. Vậy ΔAMB và ΔAMC đều cân tại M.
BVì M là trung điểm của BC nên MA = MB = MC, do đó ΔAMB và ΔAMC cân tại M.
CVì MD = MA nên ΔAMB và ΔAMC cân tại M.
DVì tam giác ABC vuông tại A nên M cách đều A, B, C.
Câu 7
(Bài 4.45 trang 69 SBT Toán 7 Tập 1) Cho ABC là tam giác cân tại A. Chứng minh rằng hai đường trung tuyến BM, CN bằng nhau như Hình 4.50a. Chọn cách chứng minh đúng.
AVì BM và CN là trung tuyến nên M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB. Mà AB = AC nên AM = AN. Xét ΔABM và ΔACN có AB = AC, ∠A chung, AM = AN. Do đó ΔABM = ΔACN, suy ra BM = CN.
BVì BM và CN đều là trung tuyến nên BM = CN trong mọi tam giác.
CVì ABC cân tại A nên mọi đoạn thẳng vẽ từ B và C đều bằng nhau.
DVì M và N là trung điểm nên BM song song với CN, do đó BM = CN.
Câu 8
(Bài 4.45 trang 69 SBT Toán 7 Tập 1) Cho ABC là tam giác cân tại A. Chứng minh rằng hai đường phân giác BE, CF bằng nhau như Hình 4.50b. Chọn cách chứng minh đúng.
AVì ABC cân tại A nên AB = AC và ∠ABC = ∠ACB. BE, CF là các đường phân giác nên ∠ABE = ∠ACF. Xét ΔABE và ΔACF có ∠A chung, AB = AC, ∠ABE = ∠ACF. Do đó ΔABE = ΔACF, suy ra BE = CF.
BVì BE và CF đều là đường phân giác nên BE = CF trong mọi tam giác.
CVì ABC cân tại A nên mọi đường phân giác trong tam giác đều bằng nhau.
DVì AB = AC nên suy ra ngay BE = CF.
Câu 9
(Bài 4.46 trang 69 SBT Toán 7 Tập 1) Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.51. Chứng minh rằng ΔAEB và ΔDEC là các tam giác cân tại E. Chọn cách chứng minh đúng.
AXét hai tam giác vuông ADB và BCA có AB là cạnh huyền chung, AD = CB nên ΔADB = ΔBCA. Suy ra ∠DBA = ∠CAB, hay ∠EBA = ∠EAB, nên ΔAEB cân tại E. Tiếp tục xét ΔADE và ΔBCE có AD = CB, EA = EB nên ΔADE = ΔBCE, suy ra ED = EC. Vậy ΔDEC cân tại E.
BVì AD = CB nên ΔAEB và ΔDEC đều cân tại E.
CVì E là giao điểm của AC và DB nên ΔAEB và ΔDEC luôn cân tại E.
DVì AB là cạnh chung nên ΔAEB và ΔDEC cân tại E.
Câu 10
(Bài 4.46 trang 69 SBT Toán 7 Tập 1) Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.51. Chứng minh rằng AB // CD. Chọn cách chứng minh đúng.
ATừ ΔAEB cân tại E suy ra ∠EBA = ∠EAB. Từ ΔDEC cân tại E suy ra ∠EDC = ∠ECD. Lại có ∠AEB = ∠DEC vì là hai góc đối đỉnh, nên ∠EBA = ∠EDC. Hai góc này ở vị trí so le trong, do đó AB // CD.
BVì AD = CB nên AB // CD ngay lập tức.
CVì ΔAEB và ΔDEC đều cân tại E nên AB vuông góc với CD.
DVì E là giao điểm của AC và DB nên AB // CD.
Câu 11
(Bài 4.47 trang 70 SBT Toán 7 Tập 1) Cho tam giác ABH vuông tại H có ∠ABH = 60°. Trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho HB = HC như Hình 4.52. Chứng minh rằng ΔABC là tam giác đều và $BH = \frac{AB}{2}$. Chọn cách chứng minh đúng.
AXét hai tam giác vuông ABH và ACH có AH là cạnh chung, HB = HC nên ΔABH = ΔACH. Suy ra AB = AC, nên ΔABC cân tại A. Do ∠ABC = ∠ACB = 60° nên ∠BAC = 60°. Vậy ΔABC đều. Vì H là trung điểm của BC nên $BH = \frac{BC}{2} = \frac{AB}{2}$.
BVì HB = HC nên ΔABC đều và $BH = \frac{AB}{2}$.
CVì ∠ABH = 60° nên mọi tam giác có góc B bằng 60° đều là tam giác đều.
DVì ΔABH vuông tại H nên AB = BH, do đó $BH = \frac{AB}{2}$.
Câu 12
(Bài 4.48 trang 70 SBT Toán 7 Tập 1) Đường thẳng d trong hình nào dưới đây là trung trực của đoạn thẳng AB?
AHình 4.53a.
BHình 4.53b.
CHình 4.53c.
DCả ba hình 4.53a, 4.53b, 4.53c.
Câu 13
(Bài 4.49 trang 70 SBT Toán 7 Tập 1) Cho A là một điểm tùy ý nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC sao cho A không thuộc BC. Khẳng định nào dưới đây là đúng? a) AB = AC. b) Tam giác ABC đều. c) ∠ABC = ∠ACB. d) Tam giác ABC cân tại đỉnh A.
Aa), c), d) đúng; b) sai.
Ba), b), c) đúng; d) sai.
CChỉ có a) đúng.
DCả bốn khẳng định đều đúng.
Câu 14
(Bài 4.50 trang 70 SBT Toán 7 Tập 1) Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm tùy ý trên đường thẳng AH sao cho M không trùng với A như Hình 4.54. Chứng minh rằng ∠MBA = ∠MCA. Chọn cách chứng minh đúng.
AXét hai tam giác vuông ABH và ACH có AB = AC, AH là cạnh chung nên ΔABH = ΔACH. Suy ra ∠BAH = ∠CAH, hay ∠BAM = ∠CAM. Xét ΔABM và ΔACM có AB = AC, ∠BAM = ∠CAM, AM là cạnh chung nên ΔABM = ΔACM. Suy ra ∠MBA = ∠MCA.
BVì M nằm trên AH nên ∠MBA = ∠MCA ngay lập tức.
CVì ABC cân tại A nên mọi điểm M trên AH đều là trung điểm của BC.
DVì AH là đường cao nên ΔABM và ΔACM luôn là tam giác vuông bằng nhau.