Bài 13 Hình chữ nhật
Lớp 8Toán 8 Tập 14 câu hỏiBài tập
Phần 1
Câu 1
(Bài 3.20 trang 39 SBT Toán 8 Tập 1) Cho tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi D, E lần lượt là điểm sao cho M là trung điểm của HD, N là trung điểm của HE. Chọn kết luận đúng cho các ý: a) Chứng minh AHBD, AHCE, BCED là những hình chữ nhật; b) Tại sao giao điểm của BE và CD là trung điểm của AH? c) Giải thích tại sao DH = HE, BE = CD.
Aa) AHBD, AHCE, BCED đều là hình chữ nhật; b) BE và CD cùng đi qua trung điểm của AH nên giao điểm của BE và CD là trung điểm của AH; c) Vì AHBD, AHCE là hình chữ nhật và AB = AC nên DH = HE; vì BCED là hình chữ nhật nên BE = CD.
Ba) AHBD, AHCE là hình bình hành nhưng BCED không phải hình chữ nhật; b) BE và CD cắt nhau tại H; c) DH = HE vì D, H, E thẳng hàng.
Ca) AHBD, AHCE, BCED đều là hình thoi; b) BE và CD cùng đi qua A; c) BE = CD vì B, C, D, E thẳng hàng.
Da) Chỉ có AHBD là hình chữ nhật; b) BE và CD không cắt AH; c) DH = HE và BE = CD chỉ đúng khi tam giác ABC đều.
Câu 2
(Bài 3.21 trang 39 SBT Toán 8 Tập 1) Hai đường trung tuyến BM, CN của tam giác ABC cân tại A cắt nhau tại G. Gọi H, K lần lượt là điểm sao cho trung điểm của GH là M, trung điểm của GK là N. Chứng minh tứ giác BCHK là hình chữ nhật. Chọn lập luận đúng.
AVì M là trung điểm của AC và GH nên AGCH là hình bình hành, suy ra HC // AG và HC = AG. Vì N là trung điểm của AB và GK nên AGBK là hình bình hành, suy ra BK // AG và BK = AG. Do đó BK // CH và BK = CH, nên BCHK là hình bình hành. Tam giác ABC cân tại A nên AG ⟂ BC, mà BK // AG, suy ra BK ⟂ BC. Vậy BCHK là hình chữ nhật.
BVì BM và CN là hai trung tuyến nên BM ⟂ CN. Do đó BCHK là hình chữ nhật.
CVì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. Suy ra trực tiếp BK = CH và BC = HK, nên BCHK là hình chữ nhật.
DVì G là giao điểm hai trung tuyến nên G là trung điểm của BC. Do đó BCHK là hình chữ nhật.
Câu 3
(Bài 3.22.1 trang 39 SBT Toán 8 Tập 1) Sử dụng tính chất tổng các góc của một tam giác bằng 180° để chứng minh: a) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền; b) Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa BC thì vuông tại A. Chọn kết luận và lập luận đúng.
Aa) Nếu tam giác ABC vuông tại A và M là trung điểm của BC thì có thể chứng minh MA = MB = MC, do đó AM = BC/2. b) Ngược lại, nếu M là trung điểm của BC và AM = BC/2 thì MA = MB = MC, suy ra ∠BAM = ∠B và ∠MAC = ∠C. Từ ∠A + ∠B + ∠C = 180° suy ra ∠A = 90°, nên tam giác ABC vuông tại A.
Ba) Nếu tam giác ABC vuông tại A và M là trung điểm của BC thì AM = BC. b) Nếu AM = BC/2 thì tam giác ABC cân tại A.
Ca) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng cạnh huyền. b) Nếu AM = BC/2 thì tam giác ABC đều.
Da) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì M là trung điểm của AB. b) Nếu AM = BC/2 thì ∠A = 60°.
Câu 4
(Bài 3.22.2 trang 39 SBT Toán 8 Tập 1) Sử dụng tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau để chứng minh hai kết quả ở ý 1. Chọn lập luận đúng.
AGọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của AP, khi đó ABPC là hình bình hành. Nếu tam giác ABC vuông tại A thì hình bình hành ABPC có một góc vuông nên là hình chữ nhật, do đó AP = BC, suy ra AM = BC/2. Ngược lại, nếu AM = BC/2 thì AP = BC; hình bình hành ABPC có hai đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật, suy ra ∠A = 90°.
BGọi M là trung điểm của BC. Nếu tam giác ABC vuông tại A thì ABPC là hình thoi, do đó AM = BC.
CLấy điểm P sao cho M là trung điểm của AP. Vì ABPC là hình bình hành nên hai đường chéo luôn bằng nhau, suy ra tam giác ABC luôn vuông tại A.
DNếu AM = BC/2 thì AB = AC, nên tam giác ABC cân tại A chứ không cần chứng minh vuông tại A.