Bài 11 Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Câu 1

(Bài 4.1 trang 45 SBT Toán 9 Tập 1) a) Vẽ tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính BC, sin B, cos B. b) Vẽ tam giác MNP vuông tại M, MN = 6 cm, MP = 8 cm. Hỏi hai tam giác ABC, MNP có đồng dạng không? Tính sin N, cos N.

Aa) BC = 5 cm,

s i n B = \frac{4}{5}

,

c o s B = \frac{3}{5}

. b) Hai tam giác ABC và MNP đồng dạng;

s i n N = \frac{4}{5}

,

c o s N = \frac{3}{5}

.

Ba) BC = 5 cm,

s i n B = \frac{3}{5}

,

c o s B = \frac{4}{5}

. b) Hai tam giác ABC và MNP đồng dạng;

s i n N = \frac{3}{5}

,

c o s N = \frac{4}{5}

.

Ca) BC = 7 cm,

s i n B = \frac{4}{7}

,

c o s B = \frac{3}{7}

. b) Hai tam giác ABC và MNP không đồng dạng.

Da) BC = 5 cm,

s i n B = \frac{4}{5}

,

c o s B = \frac{3}{5}

. b) Hai tam giác ABC và MNP không đồng dạng.

Câu 2

(Bài 4.2 trang 45 SBT Toán 9 Tập 1) a) Chứng minh rằng với mọi góc nhọn α < 45°, ta có

s i n (4 5^{°} - α) = c o s (4 5^{°} + α)

,

c o s (4 5^{°} - α) = s i n (4 5^{°} + α)

. b) Không dùng MTCT, tính

s i n 2 5^{°} + s i n 3 5^{°} + s i n 4 5^{°} - c o s 4 5^{°} - c o s 5 5^{°} - c o s 6 5^{°}

.

Aa) Vì

(4 5^{°} - α) + (4 5^{°} + α) = 9 0^{°}

nên hai góc phụ nhau, suy ra các đẳng thức đúng. b) Giá trị biểu thức bằng 0.

Ba) Vì hai góc bằng nhau nên các đẳng thức đúng. b) Giá trị biểu thức bằng 1.

Ca) Vì

(4 5^{°} - α) + (4 5^{°} + α) = 4 5^{°}

nên các đẳng thức đúng. b) Giá trị biểu thức bằng

s i n 4 5^{°}

.

Da) Các đẳng thức chỉ đúng khi α = 0°. b) Giá trị biểu thức bằng -1.

Câu 3

(Bài 4.3 trang 45 SBT Toán 9 Tập 1) Khi góc α lần lượt bằng 10°, 20°, 30°, 40°, hãy dùng MTCT tính sin α trong mỗi trường hợp, làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba.

A

s i n 1 0^{°} \approx 0, 174

;

s i n 2 0^{°} \approx 0, 342

;

s i n 3 0^{°} = 0, 500

;

s i n 4 0^{°} \approx 0, 643

.

B

s i n 1 0^{°} \approx 0, 342

;

s i n 2 0^{°} \approx 0, 174

;

s i n 3 0^{°} = 0, 500

;

s i n 4 0^{°} \approx 0, 643

.

C

s i n 1 0^{°} \approx 0, 174

;

s i n 2 0^{°} \approx 0, 364

;

s i n 3 0^{°} = 0, 577

;

s i n 4 0^{°} \approx 0, 839

.

D

s i n 1 0^{°} \approx 0, 985

;

s i n 2 0^{°} \approx 0, 940

;

s i n 3 0^{°} = 0, 866

;

s i n 4 0^{°} \approx 0, 766

.

Câu 4

(Bài 4.4 trang 45 SBT Toán 9 Tập 1) Hãy dùng MTCT, tìm số đo của góc nhọn α, làm tròn đến độ, trong mỗi trường hợp: a) Khi sin α lần lượt bằng

\frac{1}{4}

,

\frac{1}{3}

,

\frac{1}{2}

,

\frac{2}{3}

. b) Khi cos α lần lượt bằng

\frac{1}{4}

,

\frac{1}{3}

,

\frac{1}{2}

,

\frac{2}{3}

.

Aa) α ≈ 14°, 19°, 30°, 42°. b) α ≈ 76°, 71°, 60°, 48°.

Ba) α ≈ 76°, 71°, 60°, 48°. b) α ≈ 14°, 19°, 30°, 42°.

Ca) α ≈ 15°, 20°, 35°, 45°. b) α ≈ 75°, 70°, 55°, 45°.

Da) α ≈ 10°, 20°, 30°, 40°. b) α ≈ 80°, 70°, 60°, 50°.

Câu 5

(Bài 4.5 trang 45 SBT Toán 9 Tập 1) Biết rằng với mỗi góc nhọn α, ta có

s i n^{2} α + c o s^{2} α = 1

. Không dùng MTCT, hãy tính

s i n^{2} 2 5^{°} + s i n^{2} 3 5^{°} + s i n^{2} 4 5^{°} + s i n^{2} 5 5^{°} + s i n^{2} 6 5^{°}

.

A2,5

B2

C3

D1,5

Câu 6

(Bài 4.6 trang 45 SBT Toán 9 Tập 1) Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông đo được 5 cm, 12 cm. Hỏi sin của góc nhọn nhỏ nhất của tam giác đó bằng bao nhiêu?

A

\frac{5}{13}

B

\frac{12}{13}

C

\frac{5}{12}

D

\frac{12}{5}

Câu 7

(Bài 4.7 trang 45 SBT Toán 9 Tập 1) Xét tam giác ABC vuông tại B, có góc A = 30°. Tia Bt sao cho góc CBt = 30° cắt tia AC ở D, D nằm giữa A và C. Chứng minh rằng khoảng cách từ D đến đường thẳng BC bằng

\frac{A B}{4}

. Chọn lập luận đúng.

AGọi E là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BC. Trong tam giác vuông ABD, có

\frac{B D}{A B} = s i n 3 0^{°} = \frac{1}{2}

. Trong tam giác vuông BDE, có

\frac{D E}{B D} = s i n 3 0^{°} = \frac{1}{2}

. Do đó

\frac{D E}{A B} = \frac{D E}{B D} \cdot \frac{B D}{A B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

, suy ra

D E = \frac{A B}{4}

.

BGọi E là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BC. Vì góc A = 30° nên

D E = \frac{A B}{2}

.

CVì D nằm giữa A và C nên khoảng cách từ D đến BC bằng DB, mà

D B = A B

.

DVì tam giác ABC vuông tại B nên khoảng cách từ D đến BC luôn bằng AB.

Câu 8

(Bài 4.8 trang 45 SBT Toán 9 Tập 1) Vẽ góc α trong mỗi trường hợp: a) cos α = 0,4; b) tan α =

\frac{2}{3}

; c) cot α =

\frac{3}{4}

. Chọn cách dựng đúng.

Aa) Dựng tam giác vuông có cạnh kề góc α bằng 2 và cạnh huyền bằng 5. b) Dựng tam giác vuông có cạnh đối góc α bằng 2 và cạnh kề góc α bằng 3. c) Dựng tam giác vuông có cạnh kề góc α bằng 3 và cạnh đối góc α bằng 4.

Ba) Dựng tam giác vuông có cạnh đối góc α bằng 2 và cạnh huyền bằng 5. b) Dựng tam giác vuông có cạnh kề góc α bằng 2 và cạnh đối góc α bằng 3. c) Dựng tam giác vuông có cạnh kề góc α bằng 4 và cạnh đối góc α bằng 3.

Ca) Dựng tam giác vuông có cạnh kề góc α bằng 4 và cạnh huyền bằng 10. b) Dựng tam giác đều. c) Dựng góc vuông.

Da) Không thể dựng được góc α. b) Không thể dựng được góc α. c) Không thể dựng được góc α.

Câu 9

(Bài 4.9 trang 45 SBT Toán 9 Tập 1) Một cái thang dài 3,2 m đặt tựa bức tường, đầu thang đạt đến độ cao 3 m thì thang tạo với mặt đất góc α xấp xỉ bằng bao nhiêu độ?

Aα ≈ 70°

Bα ≈ 49°

Cα ≈ 20°

Dα ≈ 41°

Câu 10

(Bài 4.10 trang 46 SBT Toán 9 Tập 1) Một cái diều có dây diều dài 8 m, khi dây diều căng thì diều bay ở độ cao 6 m. Hỏi khi đó dây diều tạo với phương ngang của mặt đất góc nhọn α xấp xỉ bằng bao nhiêu độ?

Aα ≈ 49°

Bα ≈ 70°

Cα ≈ 41°

Dα ≈ 30°

Câu 11

(Bài 4.11 trang 46 SBT Toán 9 Tập 1) Chứng minh tam giác vuông có một góc nhọn có tang bằng 1 là tam giác vuông cân. Chọn lập luận đúng.

AXét tam giác ABC vuông tại A, nếu

t a n B = 1

thì

\frac{A C}{A B} = 1

, suy ra AC = AB. Vậy tam giác ABC vuông cân tại A.

BNếu

t a n B = 1

thì BC = AB, suy ra tam giác ABC vuông cân tại B.

CNếu

t a n B = 1

thì góc B = 90°, nên tam giác ABC vuông cân.

DNếu

t a n B = 1

thì AC = BC, suy ra tam giác ABC vuông cân tại C.

Câu 12

(Bài 4.12 trang 46 SBT Toán 9 Tập 1) a) Tính các góc của tam giác vuông có một góc nhọn có tang bằng

\frac{\sqrt{3}}{3}

. b) Một hình chữ nhật có kích thước 3 và

\sqrt{3}

. Tính các góc tạo bởi đường chéo và cạnh của hình chữ nhật đó.

Aa) Hai góc nhọn là 30° và 60°. b) Các góc tạo bởi đường chéo và cạnh của hình chữ nhật là 30° và 60°.

Ba) Hai góc nhọn là 45° và 45°. b) Các góc tạo bởi đường chéo và cạnh của hình chữ nhật là 45° và 45°.

Ca) Hai góc nhọn là 30° và 60°. b) Các góc tạo bởi đường chéo và cạnh của hình chữ nhật là 15° và 75°.

Da) Hai góc nhọn là 20° và 70°. b) Các góc tạo bởi đường chéo và cạnh của hình chữ nhật là 20° và 70°.

Câu 13

(Bài 4.13 trang 46 SBT Toán 9 Tập 1) Dùng MTCT, hãy tìm tang và côtang của góc nhọn α khi α lần lượt bằng 10°, 20°, 30°, 40°, làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba.

Aα = 10°: tan α ≈ 0,176, cot α ≈ 5,671; α = 20°: tan α ≈ 0,364, cot α ≈ 2,747; α = 30°: tan α ≈ 0,577, cot α ≈ 1,732; α = 40°: tan α ≈ 0,839, cot α ≈ 1,192.

Bα = 10°: tan α ≈ 5,671, cot α ≈ 0,176; α = 20°: tan α ≈ 2,747, cot α ≈ 0,364; α = 30°: tan α ≈ 1,732, cot α ≈ 0,577; α = 40°: tan α ≈ 1,192, cot α ≈ 0,839.

Cα = 10°: tan α ≈ 0,174, cot α ≈ 0,985; α = 20°: tan α ≈ 0,342, cot α ≈ 0,940; α = 30°: tan α ≈ 0,500, cot α ≈ 0,866; α = 40°: tan α ≈ 0,643, cot α ≈ 0,766.

Dα = 10°: tan α ≈ 0,176, cot α ≈ 2,747; α = 20°: tan α ≈ 0,364, cot α ≈ 5,671; α = 30°: tan α ≈ 0,577, cot α ≈ 1,192; α = 40°: tan α ≈ 0,839, cot α ≈ 1,732.

Câu 14

(Bài 4.14 trang 46 SBT Toán 9 Tập 1) Tính tang, côtang của góc kề đáy của tam giác cân biết cạnh đáy dài 8 cm, đường cao ứng với đáy dài 5 cm.

A

t a n α = \frac{5}{4}

,

c o t α = \frac{4}{5}

.

B

t a n α = \frac{4}{5}

,

c o t α = \frac{5}{4}

.

C

t a n α = \frac{5}{8}

,

c o t α = \frac{8}{5}

.

D

t a n α = \frac{8}{5}

,

c o t α = \frac{5}{8}

.

Câu 15

(Bài 4.15 trang 46 SBT Toán 9 Tập 1) Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác

s i n α

,

c o s α

,

t a n α

,

c o t α

hãy chứng minh rằng: a)

t a n α = \frac{s i n α}{c o s α}

,

c o t α = \frac{c o s α}{s i n α}

; b)

1 + t a n^{2} α = \frac{1}{c o s^{2} α}

. Chọn lập luận đúng.

AXét tam giác vuông có góc nhọn α. Từ định nghĩa các tỉ số lượng giác, ta có

t a n α = \frac{s i n α}{c o s α}

và

c o t α = \frac{c o s α}{s i n α}

. Lại có

s i n^{2} α + c o s^{2} α = 1

, nên

1 + t a n^{2} α = 1 + \frac{s i n^{2} α}{c o s^{2} α} = \frac{s i n^{2} α + c o s^{2} α}{c o s^{2} α} = \frac{1}{c o s^{2} α}

.

BVì

s i n α = c o s α

với mọi góc nhọn α nên các công thức đã cho đúng.

CVì

t a n α + c o t α = 1

nên suy ra các công thức đã cho đúng.

DVì

s i n^{2} α - c o s^{2} α = 1

nên

1 + t a n^{2} α = \frac{1}{c o s^{2} α}

.

Câu 16

(Bài 4.16 trang 46 SBT Toán 9 Tập 1) Cho góc α có

t a n α = \frac{3}{4}

. Tính

s i n α

,

c o s α

.

A

s i n α = \frac{3}{5}

,

c o s α = \frac{4}{5}

.

B

s i n α = \frac{4}{5}

,

c o s α = \frac{3}{5}

.

C

s i n α = \frac{3}{4}

,

c o s α = \frac{4}{3}

.

D

s i n α = \frac{5}{3}

,

c o s α = \frac{5}{4}

.

Câu 17

(Bài 4.17 trang 46 SBT Toán 9 Tập 1) Với α < β < 90°, chứng minh rằng: a)

c o s α > c o s β

; b)

s i n α < s i n β

. Chọn lập luận đúng.

AVì α < β < 90° nên

t a n α < t a n β

. Do đó

t a n^{2} α < t a n^{2} β

, suy ra

1 + t a n^{2} α < 1 + t a n^{2} β

, tức

\frac{1}{c o s^{2} α} < \frac{1}{c o s^{2} β}

. Suy ra

c o s^{2} α > c o s^{2} β

, nên

c o s α > c o s β

. Từ đó

1 - c o s^{2} α < 1 - c o s^{2} β

, suy ra

s i n^{2} α < s i n^{2} β

, nên

s i n α < s i n β

.

BVì α < β nên

t a n α > t a n β

, suy ra

c o s α < c o s β

và

s i n α > s i n β

.

CVì α < β nên

c o s α = c o s β

và

s i n α = s i n β

.

DVì α và β đều là góc nhọn nên luôn có

c o s α > s i n β

.

Bài 11 Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Phần 1

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

Câu 6

Câu 7

Câu 8

Câu 9

Câu 10

Câu 11

Câu 12

Câu 13

Câu 14

Câu 15

Câu 16

Câu 17