Bài 16 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Lớp 9Toán Tập 15 câu hỏiBài tập
Phần 1
Câu 1
(Bài 5.17 trang 65 SBT Toán 9 Tập 1) Cho đường tròn (O) và điểm P. a) Giả sử P ∈ (O). Vẽ đường thẳng a đi qua P và vuông góc với OP. Chứng minh rằng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P. b) Giả sử P nằm ngoài (O). Vẽ đường tròn đường kính OP. Đường tròn vừa vẽ cắt (O) tại A và B. Chứng minh rằng PA và PB là hai tiếp tuyến của (O).
Aa) Vì OP là bán kính của (O), P ∈ (O) và a ⟂ OP tại P nên a là tiếp tuyến của (O) tại P. b) Vì A, B thuộc đường tròn đường kính OP nên OA ⟂ PA và OB ⟂ PB. Do OA, OB là bán kính của (O), suy ra PA và PB là hai tiếp tuyến của (O). (*)
Ba) Vì OP là bán kính của (O) nên mọi đường thẳng đi qua P đều là tiếp tuyến của (O). b) Vì A, B thuộc (O) nên PA và PB luôn là tiếp tuyến của (O).
Ca) Vì a đi qua P nên a cắt (O) tại hai điểm. b) Vì đường tròn đường kính OP cắt (O) tại A, B nên PA và PB là hai dây của (O).
Da) Vì OP ⟂ a nên a là đường kính của (O). b) Vì A, B thuộc đường tròn đường kính OP nên OA // PA và OB // PB.
Câu 2
(Bài 5.18 trang 65 SBT Toán 9 Tập 1) Cho đường thẳng a, điểm M thuộc a và số dương R. Vẽ đường thẳng b đi qua M và vuông góc với a. Trên b xác định điểm A sao cho AM = R. Chứng minh rằng đường tròn (A; R) tiếp xúc với a tại M. Ta có thể vẽ được mấy đường tròn như thế?
AVì AM là bán kính của đường tròn (A; R) và AM ⟂ a tại M nên a là tiếp tuyến của đường tròn (A; R) tại M. Có thể vẽ được hai đường tròn như thế, vì trên đường thẳng b có hai điểm A nằm về hai phía của a và cùng cách M một khoảng R. (*)
BVì M thuộc a nên a luôn cắt đường tròn (A; R) tại hai điểm. Có thể vẽ được một đường tròn như thế.
CVì AM = R nên M là tâm đường tròn. Có thể vẽ được vô số đường tròn như thế.
DVì b ⟂ a nên b là tiếp tuyến của đường tròn (A; R) tại M. Có thể vẽ được đúng một đường tròn như thế.
Câu 3
(Bài 5.19 trang 65 SBT Toán 9 Tập 1) Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O), trong đó A là tiếp điểm. Đường thẳng qua A và vuông góc với MO cắt (O) tại B, B khác A. a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của (O). b) Tính OM và diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O), biết bán kính của (O) bằng 3 cm và ∠MAB = 60°.
Aa) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Có thể chứng minh ΔAOM = ΔBOM, suy ra OB ⟂ MB nên MB là tiếp tuyến của (O). b) OM = 6 cm; diện tích phần tam giác AMB nằm bên ngoài (O) là
cm². (*)
Ba) Vì A, B cùng thuộc (O) nên MB là tiếp tuyến của (O). b) OM = 3 cm; diện tích phần ngoài đường tròn là
cm².
Ca) Vì MA là tiếp tuyến nên AB là đường kính của (O), suy ra MB là tiếp tuyến. b) OM = 6 cm; diện tích phần ngoài đường tròn là
cm².
Da) Vì AB ⟂ MO nên MB // MA, suy ra MB là tiếp tuyến. b) OM = 9 cm; diện tích phần ngoài đường tròn là
cm².
Câu 4
(Bài 5.20 trang 65 SBT Toán 9 Tập 1) Cho AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O), trong đó M và N là hai tiếp điểm. Gọi E là một điểm thuộc cung nhỏ MN. Tiếp tuyến của (O) tại E cắt AM tại B và cắt AN tại C. Biết AB = 10 cm, AC = 7 cm và BC = 6 cm. Tính độ dài của các đoạn thẳng AM, AN, BM và CN.
AAM = AN = 11,5 cm; BM = 1,5 cm; CN = 4,5 cm. (*)
BAM = AN = 10 cm; BM = 1,5 cm; CN = 4,5 cm.
CAM = AN = 11,5 cm; BM = 4,5 cm; CN = 1,5 cm.
DAM = AN = 23 cm; BM = 13 cm; CN = 16 cm.
Câu 5
(Bài 5.21 trang 65 SBT Toán 9 Tập 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AH. b) Gọi M và N là các điểm đối xứng với H lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng BM và CN là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính AH. c) Chứng minh rằng MN là một đường kính của đường tròn tâm A bán kính AH. d) Tính diện tích của tứ giác BMNC, biết HB = 2 cm và HC = 4,5 cm.
Aa) Vì AH ⟂ BC và AH là bán kính nên BC là tiếp tuyến tại H. b) Do M, N đối xứng với H qua AB, AC nên AM = AH, AN = AH và BM ⟂ AM, CN ⟂ AN; suy ra BM, CN là tiếp tuyến. c) Chứng minh được M, A, N thẳng hàng, mà AM = AN = AH nên MN là đường kính. d) Diện tích tứ giác BMNC là 19,5 cm². (*)
Ba) Vì AH là đường cao nên BC là đường kính. b) BM và CN là hai dây của đường tròn. c) MN là bán kính. d) Diện tích tứ giác BMNC là 13 cm².
Ca) Vì tam giác ABC vuông tại A nên BC tiếp xúc với đường tròn tâm A tại B. b) BM và CN là hai tiếp tuyến vì B, C thuộc đường tròn. c) MN là dây không đi qua tâm. d) Diện tích tứ giác BMNC là 9 cm².
Da) Vì AH ⟂ BC nên A nằm trên BC. b) BM và CN là hai đường kính. c) MN là tiếp tuyến của đường tròn. d) Diện tích tứ giác BMNC là 39 cm².