Bài 11 Tích vô hướng của hai vectơ

Câu 1

(Bài 4.29 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.
(a) Gọi M là trung điểm của BC. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ

\vec{M A}

và

\vec{B A}

,

\vec{M A}

và

\vec{A C}

.
(b) Gọi N là điểm đối xứng với B qua C. Tính tích vô hướng

\vec{A M} \cdot \vec{A N}

.
(c) Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3PN. Hãy biểu thị các vectơ

\vec{A P}

,

\vec{M P}

theo hai vectơ

\vec{A B}

và

\vec{A C}

. Tính độ dài đoạn MP.

A(a)

\vec{M A} \cdot \vec{B A} = \frac{3}{4}

,

\vec{M A} \cdot \vec{A C} = - \frac{3}{4}

. (b)

\vec{A M} \cdot \vec{A N} = \frac{3}{4}

. (c)

\vec{A P} = \frac{3}{2} \vec{A C} - \frac{3}{4} \vec{A B}

,

\vec{M P} = \vec{A C} - \frac{5}{4} \vec{A B}

,

M P = \frac{\sqrt{21}}{4}

.

B(a)

\vec{M A} \cdot \vec{B A} = - \frac{3}{4}

,

\vec{M A} \cdot \vec{A C} = \frac{3}{4}

. (b)

\vec{A M} \cdot \vec{A N} = \frac{3}{4}

. (c)

\vec{A P} = \frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}

,

M P = \frac{\sqrt{21}}{4}

.

C(a)

\vec{M A} \cdot \vec{B A} = \frac{1}{2}

,

\vec{M A} \cdot \vec{A C} = - \frac{1}{2}

. (b)

\vec{A M} \cdot \vec{A N} = 1

. (c)

\vec{A P} = \vec{A C} - \frac{5}{4} \vec{A B}

,

M P = \frac{\sqrt{3}}{4}

.

D(a)

\vec{M A} \cdot \vec{B A} = \frac{3}{4}

,

\vec{M A} \cdot \vec{A C} = \frac{3}{4}

. (b)

\vec{A M} \cdot \vec{A N} = - \frac{3}{4}

. (c)

\vec{A P} = \frac{3}{4} \vec{A C} - \frac{3}{2} \vec{A B}

,

M P = \frac{\sqrt{21}}{2}

.

Câu 2

(Bài 4.30 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, BC =

\sqrt{2}

. Gọi M là trung điểm của AD.
(a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.
(b) Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.

AĐặt

\vec{A B} = \vec{a}

,

\vec{A D} = \vec{b}

thì

\vec{a} ⊥ \vec{b}

,

| \vec{a} | = 1

,

| \vec{b} | = \sqrt{2}

. Ta có

\vec{A C} = \vec{a} + \vec{b}

và

\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a}

. Khi đó

\vec{A C} \cdot \vec{B M} = 0

, suy ra AC ⟂ BM. Từ các hệ thức vectơ với N là trung điểm AH và P là trung điểm CD, tính được

\vec{N B} \cdot \vec{N P} = 0

, suy ra tam giác NBP vuông tại N.

BVì ABCD là hình chữ nhật nên AC luôn vuông góc với BM. Do đó tam giác NBP vuông tại B.

CVì M là trung điểm của AD nên BM là đường trung bình của hình chữ nhật. Suy ra BM ⟂ AC và NP ⟂ BP.

DVì AB = 1, BC =

\sqrt{2}

nên ABCD là hình vuông. Do đó AC ⟂ BM và tam giác NBP vuông cân.

Câu 3

(Bài 4.31 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác ABC có

\hat{A} < 9 0^{°}

. Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
(a) AM vuông góc với DE;
(b) BE vuông góc với CD;
(c) Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.

AVì M là trung điểm của BC nên

\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})

. Lại có

\vec{D E} = \vec{A E} - \vec{A D}

. Sử dụng AB ⟂ AD, AC ⟂ AE, AB = AD, AC = AE và các góc tương ứng bằng nhau, suy ra

\vec{A M} \cdot \vec{D E} = 0

, nên AM ⟂ DE. Tương tự, tính

\vec{B E} \cdot \vec{C D} = 0

, suy ra BE ⟂ CD. Vì MN // CD, MP // BE và MN = MP, nên tam giác MNP vuông cân tại M.

BVì ABD và ACE là hai tam giác vuông cân nên D, E, B, C thẳng hàng. Do đó AM ⟂ DE, BE ⟂ CD và MNP là tam giác vuông cân.

CVì M, N, P là trung điểm nên MN = MP = NP. Do đó tam giác MNP đều, suy ra AM ⟂ DE và BE ⟂ CD.

DVì

\hat{A} < 9 0^{°}

nên mọi đường trung bình trong tam giác đều vuông góc với cạnh còn lại. Do đó MNP là tam giác vuông cân.

Câu 4

(Bài 4.32 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1) Cho hai vectơ

\vec{a}

và

\vec{b}

thoả mãn

| \vec{a} | = 6

,

| \vec{b} | = 8

và

| \vec{a} + \vec{b} | = 10

.
(a) Tính tích vô hướng

\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b})

.
(b) Tính số đo của góc giữa hai vectơ

\vec{a}

và

\vec{a} + \vec{b}

.

A(a)

\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 36

. (b) Góc giữa hai vectơ

\vec{a}

và

\vec{a} + \vec{b}

xấp xỉ

5 3^{°} 7^{'} 4 8^{″}

.

B(a)

\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 48

. (b) Góc giữa hai vectơ

\vec{a}

và

\vec{a} + \vec{b}

xấp xỉ

3 6^{°} 5 2^{'} 1 2^{″}

.

C(a)

\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 60

. (b) Góc giữa hai vectơ

\vec{a}

và

\vec{a} + \vec{b}

xấp xỉ

6 0^{°}

.

D(a)

\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0

. (b) Góc giữa hai vectơ

\vec{a}

và

\vec{a} + \vec{b}

bằng

9 0^{°}

.

Câu 5

(Bài 4.33 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng

\vec{M D} \cdot \vec{B C} + \vec{N E} \cdot \vec{C A} + \vec{P F} \cdot \vec{A B} = 0

. Chọn lập luận đúng.

AGọi H và O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì D, M lần lượt là hình chiếu của H và O lên BC nên

\vec{M D} \cdot \vec{B C} = \vec{O H} \cdot \vec{B C}

. Tương tự,

\vec{N E} \cdot \vec{C A} = \vec{O H} \cdot \vec{C A}

và

\vec{P F} \cdot \vec{A B} = \vec{O H} \cdot \vec{A B}

. Cộng ba đẳng thức, ta được

\vec{O H} \cdot (\vec{B C} + \vec{C A} + \vec{A B}) = 0

, nên điều phải chứng minh đúng.

BVì D, E, F là chân đường cao nên M, N, P lần lượt trùng với D, E, F. Do đó ba tích vô hướng đều bằng 0.

CVì tam giác ABC không cân nên

\vec{M D}

,

\vec{N E}

,

\vec{P F}

đều bằng vectơ

\vec{0}

.

DVì M, N, P là trung điểm nên

\vec{M D} \cdot \vec{B C} = \vec{N E} \cdot \vec{C A} = \vec{P F} \cdot \vec{A B}

, suy ra tổng bằng 0.

Câu 6

(Bài 4.34 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).
(a) Tìm tọa độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
(b) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

A(a) C(3; 0); chu vi tam giác ABC là

3 \sqrt{2} + \sqrt{10}

; diện tích tam giác ABC là 2. (b) Có hai điểm D thỏa mãn là D(4; -1) và D(0; 3).

B(a) C(-3; 0); chu vi tam giác ABC là

3 \sqrt{2} + \sqrt{10}

; diện tích tam giác ABC là 2. (b) D(4; -1) là điểm duy nhất thỏa mãn.

C(a) C(3; 0); chu vi tam giác ABC là

2 \sqrt{2} + \sqrt{10}

; diện tích tam giác ABC là 4. (b) D(0; 3) là điểm duy nhất thỏa mãn.

D(a) C(0; 3); chu vi tam giác ABC là

3 \sqrt{2} + \sqrt{10}

; diện tích tam giác ABC là 2. (b) Có hai điểm D thỏa mãn là D(-4; 1) và D(0; -3).

Câu 7

(Bài 4.35 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm.

AB(4; -1), D(6; 7).

BB(6; 7), D(4; -1).

CB(4; 1), D(6; -7).

DB(-4; 1), D(-6; 7).

Câu 8

(Bài 4.36 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5).
(a) Tìm tọa độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều A và B.
(b) Tìm tọa độ của điểm D thuộc trục tung sao cho vectơ

\vec{D A} + \vec{D B}

có độ dài ngắn nhất.

A(a) C(6; 0). (b) D(0; 3).

B(a) C(0; 6). (b) D(3; 0).

C(a) C(-6; 0). (b) D(0; -3).

D(a) C(6; 0). (b) D(0; 5).

Câu 9

(Bài 4.37 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(-3; 2), B(1; 5) và C(3; -1).
(a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ấy.
(b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
(c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ của I.

A(a) A, B, C không thẳng hàng nên là ba đỉnh của một tam giác; trọng tâm

G (\frac{1}{3}; 2)

. (b) Trực tâm H(0; 3). (c) Tâm đường tròn ngoại tiếp

I (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})

.

B(a) A, B, C không thẳng hàng; trọng tâm G(2;

\frac{1}{3}

). (b) Trực tâm H(3; 0). (c) Tâm đường tròn ngoại tiếp

I (\frac{3}{2}; \frac{1}{2})

.

C(a) A, B, C thẳng hàng nên không tạo thành tam giác. (b) Trực tâm H(0; 3). (c) Tâm đường tròn ngoại tiếp

I (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})

.

D(a) A, B, C không thẳng hàng; trọng tâm

G (\frac{1}{3}; 2)

. (b) Trực tâm H(3; 0). (c) Tâm đường tròn ngoại tiếp I(2; 2).

Câu 10

(Bài 4.38 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1) Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực

\vec{F}

không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm, thì các công sinh bởi lực

\vec{F}

trong hai trường hợp sau có mối quan hệ gì với nhau?
(a) Chất điểm chuyển động theo đường gấp khúc từ M đến N rồi tiếp tục từ N đến P.
(b) Chất điểm chuyển động thẳng từ M đến P.

AHai công bằng nhau. Thật vậy, nếu đi theo đường gấp khúc thì

A_{1} = \vec{F} \cdot \vec{M N} + \vec{F} \cdot \vec{N P} = \vec{F} \cdot (\vec{M N} + \vec{N P}) = \vec{F} \cdot \vec{M P}

. Nếu đi thẳng từ M đến P thì

A_{2} = \vec{F} \cdot \vec{M P}

. Vậy

A_{1} = A_{2}

.

BCông khi đi theo đường gấp khúc luôn lớn hơn công khi đi thẳng.

CCông khi đi theo đường gấp khúc luôn nhỏ hơn công khi đi thẳng.

DHai công chỉ bằng nhau khi M, N, P thẳng hàng.

Bài 11 Tích vô hướng của hai vectơ

Phần 1

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

Câu 6

Câu 7

Câu 8

Câu 9

Câu 10