Bài 9 Tích của một vectơ với một số

Câu 1

(Bài 4.13 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ

\vec{A B}

,

\vec{B C}

,

\vec{C A}

theo hai vectơ

\vec{A D}

và

\vec{B E}

.

A

\vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E}

;

\vec{B C} = \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{4}{3} \vec{B E}

;

\vec{C A} = - \frac{4}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E}

.

B

\vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B E}

;

\vec{B C} = \frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{4}{3} \vec{B E}

;

\vec{C A} = - \frac{4}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B E}

.

C

\vec{A B} = \frac{4}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E}

;

\vec{B C} = \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B E}

;

\vec{C A} = - \frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{4}{3} \vec{B E}

.

D

\vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E}

;

\vec{B C} = - \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{4}{3} \vec{B E}

;

\vec{C A} = \frac{4}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B E}

.

Câu 2

(Bài 4.14 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau:
(a)

\vec{O A} + \vec{O B}

(b)

\vec{O A} - \vec{O B}

(c)

\vec{O A} + 2 \vec{O B}

(d)

2 \vec{O A} - 3 \vec{O B}

A(a)

a \sqrt{2}

; (b)

a \sqrt{2}

; (c)

a \sqrt{5}

; (d)

a \sqrt{13}

.

B(a) 2a; (b)

a \sqrt{2}

; (c)

a \sqrt{5}

; (d)

a \sqrt{13}

.

C(a)

a \sqrt{2}

; (b) 0; (c) 3a; (d) 5a.

D(a) a; (b) a; (c) 2a; (d) 3a.

Câu 3

(Bài 4.15 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
(a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng

\vec{A H} = 2 \vec{O M}

.
(b) Chứng minh rằng

\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O H}

.
(c) Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.

AKẻ đường kính AD của đường tròn ngoại tiếp. Khi đó BHCD là hình bình hành nên M là trung điểm của HD. Vì O là trung điểm của AD nên OM là đường trung bình của tam giác AHD, suy ra

\vec{A H} = 2 \vec{O M}

. Do M là trung điểm của BC nên

\vec{O B} + \vec{O C} = 2 \vec{O M} = \vec{A H}

, suy ra

\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O H}

. Vì G là trọng tâm nên

\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O G}

, do đó

\vec{O H} = 3 \vec{O G}

, suy ra G, H, O thẳng hàng.

BVì H là trực tâm nên H là trung điểm của BC, suy ra

\vec{A H} = 2 \vec{O M}

. Do đó G, H, O luôn tạo thành tam giác đều.

CVì O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên O là trọng tâm tam giác ABC, suy ra

\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}

và H trùng O.

DVì G là trọng tâm nên

\vec{O H} = 3 \vec{H G}

, từ đó suy ra

\vec{A H} = 2 \vec{O M}

.

Câu 4

(Bài 4.16 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm O bất kì đều có

\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 4 \vec{O I}

.

AVì M là trung điểm của AB nên

\vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O M}

. Vì N là trung điểm của CD nên

\vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O N}

. Vì I là trung điểm của MN nên

\vec{O M} + \vec{O N} = 2 \vec{O I}

. Do đó

\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O M} + 2 \vec{O N} = 4 \vec{O I}

.

BVì M, N là trung điểm nên

\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}

.

CVì I là trung điểm của MN nên

\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O I}

.

DCông thức chỉ đúng khi ABCD là hình bình hành.

Câu 5

(Bài 4.17 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

AVì M, N là trung điểm của AB, BC nên

\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A C}

. Tương tự,

\vec{P Q} = \frac{1}{2} \vec{C E}

và

\vec{R S} = \frac{1}{2} \vec{E A}

. Suy ra

\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R S} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{C E} + \vec{E A}) = \vec{0}

. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và NQS, từ hệ thức trên suy ra

\vec{G G^{'}} = \vec{0}

. Vậy G trùng G', nên hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

BVì lục giác ABCDEF bất kì nên MPR và NQS luôn là hai tam giác đều, do đó có cùng trọng tâm.

CVì M, N, P, Q, R, S là trung điểm các cạnh nên sáu điểm này cùng nằm trên một đường tròn, suy ra hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

DHai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm chỉ khi ABCDEF là lục giác đều.

Câu 6

(Bài 4.18 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng

\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}

.

AQua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC. Do tam giác ABC đều, các tam giác nhỏ tạo thành là tam giác đều nên suy ra các hệ thức

\vec{M Q} + \vec{M K} = 2 \vec{M D}

,

\vec{M P} + \vec{M J} = 2 \vec{M E}

,

\vec{M H} + \vec{M I} = 2 \vec{M F}

. Cộng các hệ thức và dùng các hình bình hành tạo được, ta có

2 (\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F}) = \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}

. Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên

\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M O}

. Do đó

\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}

.

BVì D, E, F là hình chiếu của M nên

\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \vec{0}

.

CVì O là trọng tâm tam giác đều ABC nên O trùng M, do đó

\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}

.

DVì tam giác ABC đều nên MD = ME = MF với mọi điểm M, suy ra

\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = 3 \vec{M O}

.

Câu 7

(Bài 4.19 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác ABC.
(a) Tìm điểm M sao cho

\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}

.
(b) Xác định điểm N thoả mãn

4 \vec{N A} - 2 \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}

.

A(a) Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó M là trung điểm của IC. (b) Điểm N được xác định bởi

\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{2}{3} \vec{A B}

.

B(a) M là trung điểm của AB. (b) Điểm N được xác định bởi

\vec{A N} = \frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}

.

C(a) M là trung điểm của BC. (b) Điểm N trùng với trọng tâm tam giác ABC.

D(a) M trùng với C. (b) Điểm N được xác định bởi

\vec{A N} = \vec{A B} + \vec{A C}

.

Câu 8

(Bài 4.20 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác ABC.
(a) Tìm điểm K thoả mãn

\vec{K A} + 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C} = \vec{0}

.
(b) Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn

| \vec{M A} + 2 \vec{M B} + 3 \vec{M C} | = | \vec{M B} - \vec{M C} |

.

A(a) Gọi I là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC. Khi đó K nằm giữa I và H, đồng thời KI = 2KH. (b) Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm K, bán kính

\frac{B C}{6}

.

B(a) K là trung điểm của BC. (b) Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm K, bán kính BC.

C(a) K là trọng tâm tam giác ABC. (b) Tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua K và song song với BC.

D(a) K là trung điểm của AC. (b) Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm K, bán kính

\frac{B C}{3}

.

Câu 9

(Bài 4.21 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1) Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng. Tìm mối liên hệ giữa trọng lực

\vec{P}

của vật và lực đẩy Archimedes

\vec{F}

mà chất lỏng tác động lên vật. Tính tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng.

AVì vật ở trạng thái cân bằng nên

\vec{P}

và

\vec{F}

ngược hướng, có cùng độ lớn, tức

\vec{P} + \vec{F} = \vec{0}

. Gọi d là trọng lượng riêng của vật, d' là trọng lượng riêng của chất lỏng và V là thể tích của vật. Ta có P = dV, còn lực đẩy Archimedes có độ lớn

F = d^{'} \cdot \frac{V}{2}

. Vì P = F nên

d V = d^{'} \cdot \frac{V}{2}

, suy ra

\frac{d}{d^{'}} = \frac{1}{2}

.

BVì vật chìm một nửa nên

\vec{P}

và

\vec{F}

cùng hướng, có cùng độ lớn; tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và chất lỏng là 2.

CVì vật cân bằng nên

\vec{P} = \vec{F} = \vec{0}

; tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và chất lỏng là 0.

DVì vật chìm một nửa nên lực đẩy Archimedes bằng một nửa trọng lực; tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và chất lỏng là 1.