Bài 8 Tổng và hiệu của hai vectơ

Lớp 10Toán Tập 16 câu hỏiBài tập
Tải Word | Làm thử | Giao đề

Phần 1

Câu 1

(Bài 4.7 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1) Cho hai vectơ a → và b → không cùng phương. Chứng minh rằng | a → | − | b → | < | a → + b → | < | a → | + | b → | . Chọn lập luận đúng.
ALấy ba điểm A, B, C sao cho a → = A B → , b → = B C → . Khi đó a → + b → = A C → . Vì a → và b → không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng, tạo thành tam giác ABC. Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có AB - BC < AC < AB + BC. Suy ra | a → | − | b → | < | a → + b → | < | a → | + | b → | .
BVì a → và b → không cùng phương nên | a → + b → | = | a → | + | b → | . Do đó bất đẳng thức đã cho đúng.
CVì a → và b → không cùng phương nên | a → + b → | = | a → | − | b → | . Do đó bất đẳng thức đã cho đúng.
DLấy ba điểm A, B, C sao cho a → = A B → , b → = B C → . Khi đó A, B, C thẳng hàng nên suy ra bất đẳng thức đã cho.

Câu 2

(Bài 4.8 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1) Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N.
(a) Chứng minh rằng O là trung điểm MN.
(b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tam giác MNC.
A(a) Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của BD. Xét hai tam giác ODN và OBM, ta có OD = OB, D O N ^ = B O M ^ , O D N ^ = O B M ^ . Suy ra ΔODN = ΔOBM, nên ON = OM. Do đó O là trung điểm MN. (b) Vì O là trung điểm của MN và BD nên BMDN là hình bình hành, suy ra M B → + N D → = 0 → . Từ G là trọng tâm tam giác BCD, ta có G B → + G C → + G D → = 0 → . Biến đổi theo M, N được G M → + G C → + G N → = 0 → . Vậy G là trọng tâm tam giác MNC.
B(a) Vì M thuộc BC và N thuộc AD nên O luôn là trung điểm MN. (b) Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên G cũng là trọng tâm của mọi tam giác có một đỉnh là C.
C(a) Vì ABCD là hình bình hành nên MO luôn vuông góc với AD tại N. Do đó O là trung điểm MN. (b) Vì BMDN là hình thoi nên G là trọng tâm tam giác MNC.
D(a) Vì O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của tất cả các đoạn thẳng đi qua O. (b) Vì G nằm trên BD nên G là trọng tâm tam giác MNC.

Câu 3

(Bài 4.9 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tứ giác ABCD.
(a) Chứng minh rằng A B → + B C → + C D → + D A → = 0 → .
(b) Chứng minh rằng A B → + C D → = A D → + C B → .
A(a) Theo quy tắc ba điểm, A B → + B C → + C D → + D A → = A C → + C D → + D A → = A D → + D A → = 0 → . (b) Ta có A B → = A D → + D B → và C D → = C B → + B D → . Do đó A B → + C D → = A D → + C B → + D B → + B D → = A D → + C B → .
B(a) Vì ABCD là tứ giác nên tổng bốn vectơ cạnh luôn bằng A B → . (b) Ta có A B → + C D → = A C → .
C(a) Chỉ đúng khi ABCD là hình bình hành. (b) Chỉ đúng khi ABCD là hình chữ nhật.
D(a) Theo quy tắc ba điểm, A B → + B C → + C D → + D A → = A A → + B B → . (b) Suy ra A B → + C D → = 0 → .

Câu 4

(Bài 4.10 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
(a) Xác định vectơ A F → − B D → + C E → .
(b) Xác định điểm M thoả mãn A F → − B D → + C E → = M A → .
(c) Chứng minh rằng M C → = A B → .
A(a) A F → − B D → + C E → = C B → . (b) Vì M A → = C B → nên tứ giác MABC là hình bình hành. Vậy M là điểm sao cho MABC là hình bình hành. (c) Vì MABC là hình bình hành nên M C → = A B → .
B(a) A F → − B D → + C E → = B C → . (b) Vì M A → = B C → nên ABCM là hình bình hành. (c) Suy ra M C → = B A → .
C(a) A F → − B D → + C E → = A B → . (b) M là trung điểm của BC. (c) Suy ra M C → = A B → .
D(a) A F → − B D → + C E → = 0 → . (b) M trùng với A. (c) Suy ra M C → = A B → .

Câu 5

(Bài 4.11 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1) Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực F 1 → , F 2 → , F 3 → cùng tác động vào một vật ở vị trí cân bằng A. Cho biết | F 1 → | = 3 0 N , | F 2 → | = 4 0 N . Tính cường độ của lực F 3 → .
[Hình Ảnh]
AVì F 1 → và F 2 → vuông góc nên hợp lực của hai lực này có cường độ 3 0 2 + 4 0 2 = 5 0 N . Vật ở vị trí cân bằng nên F 3 → ngược hướng và có cùng cường độ với hợp lực của F 1 → và F 2 → . Vậy | F 3 → | = 5 0 N .
BVì | F 1 → | = 3 0 N , | F 2 → | = 4 0 N nên | F 3 → | = 3 0 + 4 0 = 7 0 N .
CVì | F 1 → | = 3 0 N , | F 2 → | = 4 0 N nên | F 3 → | = 4 0 − 3 0 = 1 0 N .
DVì vật ở vị trí cân bằng nên ba lực có cường độ bằng nhau, do đó | F 3 → | = 3 0 N .

Câu 6

(Bài 4.12 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1) Trên mặt phẳng, chất điểm A chịu tác dụng của ba lực F 1 → , F 2 → , F 3 → và ở trạng thái cân bằng. Góc giữa hai vectơ F 1 → , F 2 → bằng 60°. Tính độ lớn của F 3 → , biết | F 1 → | = | F 2 → | = 2 3 N .
AHợp lực của F 1 → và F 2 → có độ lớn ( 2 3 ) 2 + ( 2 3 ) 2 + 2 ⋅ 2 3 ⋅ 2 3 ⋅ c o s 6 0 ° = 6 N . Vì chất điểm ở trạng thái cân bằng nên F 3 → ngược hướng và có cùng độ lớn với hợp lực đó. Vậy | F 3 → | = 6 N .
BVì | F 1 → | = | F 2 → | = 2 3 N nên | F 3 → | = 2 3 N .
CVì góc giữa F 1 → và F 2 → bằng 60° nên | F 3 → | = 3 N .
DVì chất điểm cân bằng nên tổng độ lớn của ba lực bằng 0, do đó | F 3 → | = 0 N .
Tải Word | Làm thử | Giao đề bài này ngay