Bài 6 Hệ thức lượng trong tam giác

Câu 1

(Bài 3.7 trang 38 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác ABC có

\hat{A} = 4 5^{°}

,

\hat{C} = 3 0^{°}

và c = 12. a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác. b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác. c) Tính diện tích của tam giác. d) Tính độ dài các đường cao của tam giác. Chọn kết quả đúng.

A

a = 12 \sqrt{2}

;

b = 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}

; R = 12;

S = 36 \sqrt{3} + 36

;

h_{a} = 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{2}

,

h_{b} = 6 \sqrt{2}

,

h_{c} = 6 \sqrt{3} + 6

.

B

a = 6 \sqrt{2}

;

b = 12 \sqrt{6} + 12 \sqrt{2}

; R = 12;

S = 36 \sqrt{3} + 36

;

h_{a} = 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}

,

h_{b} = 3 \sqrt{2}

,

h_{c} = 6 \sqrt{3} + 6

.

C

a = 12 \sqrt{2}

;

b = 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{2}

; R = 6;

S = 36 \sqrt{3} - 36

;

h_{a} = 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}

,

h_{b} = 6 \sqrt{2}

,

h_{c} = 6 \sqrt{3} - 6

.

D

a = 12

;

b = 12 \sqrt{2}

; R = 6;

S = 36

;

h_{a} = 6

,

h_{b} = 6 \sqrt{2}

,

h_{c} = 12

.

Câu 2

(Bài 3.8 trang 38 SBT Toán 10 Tập 1) Tam giác ABC có a = 19, b = 6 và c = 15. a) Tính cos A. b) Tính diện tích tam giác. c) Tính độ dài đường cao

h_{c}

. d) Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác. Chọn kết quả đúng.

A

c o s A = - \frac{5}{9}

;

S = 10 \sqrt{14}

;

h_{c} = \frac{4 \sqrt{14}}{3}

;

r = \frac{\sqrt{14}}{2}

.

B

c o s A = \frac{5}{9}

;

S = 10 \sqrt{14}

;

h_{c} = \frac{4 \sqrt{14}}{3}

;

r = \frac{\sqrt{14}}{2}

.

C

c o s A = - \frac{5}{9}

;

S = 20 \sqrt{14}

;

h_{c} = \frac{2 \sqrt{14}}{3}

;

r = \sqrt{14}

.

D

c o s A = \frac{5}{9}

;

S = 20 \sqrt{14}

;

h_{c} = \frac{4 \sqrt{14}}{5}

;

r = \frac{\sqrt{14}}{3}

.

Câu 3

(Bài 3.9 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác ABC có a = 4,

\hat{C} = 6 0^{°}

, b = 5. a) Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác. b) Tính diện tích của tam giác. c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác. Chọn kết quả đúng.

A

c = \sqrt{21}

;

\hat{A} \approx 4 9^{°} 6^{'} 2 4^{″}

;

\hat{B} \approx 7 0^{°} 5 3^{'} 3 6^{″}

;

S = 5 \sqrt{3}

;

m_{a} = \sqrt{19}

.

B

c = \sqrt{21}

;

\hat{A} \approx 7 0^{°} 5 3^{'} 3 6^{″}

;

\hat{B} \approx 4 9^{°} 6^{'} 2 4^{″}

;

S = 5 \sqrt{3}

;

m_{a} = \sqrt{19}

.

Cc = 21;

\hat{A} = 5 0^{°}

;

\hat{B} = 7 0^{°}

;

S = 10 \sqrt{3}

;

m_{a} = \sqrt{21}

.

D

c = \sqrt{19}

;

\hat{A} \approx 4 9^{°} 6^{'} 2 4^{″}

;

\hat{B} \approx 7 0^{°} 5 3^{'} 3 6^{″}

;

S = 5 \sqrt{3}

;

m_{a} = \sqrt{21}

.

Câu 4

(Bài 3.10 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1) Một tàu cá xuất phát từ đảo A, chạy 50 km theo hướng N24°E đến đảo B để lấy thêm ngư cụ, rồi chuyển hướng N36°W chạy tiếp 130 km đến ngư trường C. a) Tính khoảng cách từ vị trí xuất phát A đến C, làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị kilômét. b) Tìm hướng từ A đến C, làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị độ. Chọn kết quả đúng.

AAC ≈ 161 km; hướng từ A đến C là khoảng N20°W.

BAC ≈ 161 km; hướng từ A đến C là khoảng N20°E.

CAC ≈ 180 km; hướng từ A đến C là khoảng N36°W.

DAC ≈ 80 km; hướng từ A đến C là khoảng N24°E.

Câu 5

(Bài 3.11 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1) Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn, Hải Phòng, chạy theo hướng N80°E với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 30 phút, tàu chuyển sang hướng E20°S, giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp 36 phút nữa đến đảo Cát Bà. Hỏi khi đó tàu du lịch cách vị trí xuất phát bao nhiêu kilômét?

AKhoảng 21,26 km.

BKhoảng 22 km.

CKhoảng 12 km.

DKhoảng 10 km.

Câu 6

(Bài 3.12 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1) Một cây cổ thụ mọc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc 10° so với phương nằm ngang. Từ một điểm dưới chân dốc, cách gốc cây 31 m, người ta nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc 40° so với phương nằm ngang. Hãy tính chiều cao của cây.

AChiều cao của cây khoảng 20,23 m.

BChiều cao của cây khoảng 31 m.

CChiều cao của cây khoảng 15,50 m.

DChiều cao của cây khoảng 26,03 m.

Câu 7

(Bài 3.13 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a)

c o t A + c o t B + c o t C = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S}

; b)

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})

. Chọn lập luận đúng.

Aa) Từ định lí côsin và công thức diện tích, ta có

c o t A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 S}

, tương tự với

c o t B

,

c o t C

; cộng ba đẳng thức được

c o t A + c o t B + c o t C = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S}

. b) Dùng công thức trung tuyến

m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}

và các công thức tương tự, cộng lại được

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})

.

Ba) Vì

c o t A + c o t B + c o t C = 1

nên suy ra

\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S} = 1

. b) Vì ba trung tuyến bằng ba cạnh nên suy ra công thức.

Ca) Từ định lí sin suy ra trực tiếp

c o t A = \frac{a^{2}}{4 S}

,

c o t B = \frac{b^{2}}{4 S}

,

c o t C = \frac{c^{2}}{4 S}

. b) Vì

m_{a} = a

,

m_{b} = b

,

m_{c} = c

nên kết quả đúng.

Da) Công thức chỉ đúng với tam giác đều. b) Công thức chỉ đúng với tam giác vuông.

Câu 8

(Bài 3.14 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc. Chứng minh rằng: a)

a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}

; b)

c o t C = 2 (c o t A + c o t B)

. Chọn lập luận đúng.

AGọi G là trọng tâm tam giác ABC. Vì hai trung tuyến từ A và B vuông góc nên tam giác ABG vuông tại G. Dùng

A G = \frac{2}{3} m_{a}

,

B G = \frac{2}{3} m_{b}

và định lí Pythagore suy ra

a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}

. Từ công thức

c o t C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 S}

và kết quả

a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}

, suy ra

c o t C = 2 (c o t A + c o t B)

.

BVì hai trung tuyến từ A và B vuông góc nên tam giác ABC vuông tại C, do đó

a^{2} + b^{2} = c^{2}

và

c o t C = 0

.

CVì hai trung tuyến từ A và B vuông góc nên

a = b = c

, suy ra

a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}

.

DVì hai trung tuyến từ A và B vuông góc nên

m_{a} = m_{b}

, từ đó suy ra

c o t C = c o t A + c o t B

.

Câu 9

(Bài 3.15 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn

\frac{s i n A}{1} = \frac{s i n B}{2} = \frac{s i n C}{\sqrt{3}}

. Tính số đo các góc của tam giác.

A

\hat{A} = 3 0^{°}

,

\hat{B} = 9 0^{°}

,

\hat{C} = 6 0^{°}

.

B

\hat{A} = 6 0^{°}

,

\hat{B} = 9 0^{°}

,

\hat{C} = 3 0^{°}

.

C

\hat{A} = 4 5^{°}

,

\hat{B} = 9 0^{°}

,

\hat{C} = 4 5^{°}

.

D

\hat{A} = 3 0^{°}

,

\hat{B} = 6 0^{°}

,

\hat{C} = 9 0^{°}

.

Câu 10

(Bài 3.16 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1) Cho tam giác ABC có

S = 2 R^{2} s i n A s i n B

. Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác vuông. Chọn lập luận đúng.

ATheo định lí sin,

a = 2 R s i n A

,

b = 2 R s i n B

,

c = 2 R s i n C

. Từ công thức

S = \frac{a b c}{4 R}

suy ra

S = 2 R^{2} s i n A s i n B s i n C

. Mà giả thiết cho

S = 2 R^{2} s i n A s i n B

, nên

s i n C = 1

, do đó

\hat{C} = 9 0^{°}

. Vậy tam giác ABC vuông tại C.

BTừ

S = 2 R^{2} s i n A s i n B