Bài 10 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Lớp 11Toán Tập 112 câu hỏiBài tập
Phần 1
Câu 1
(Bài 4.1 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD và gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh SC.
(a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (AMO) và (SCD).
(b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (BMO) và (SCD).
(a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (AMO) và (SCD).
(b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (BMO) và (SCD).
A(a) Giao tuyến là đường thẳng MC, chính là đường thẳng SC; (b) giao tuyến là đường thẳng DM.
B(a) Giao tuyến là đường thẳng AM; (b) giao tuyến là đường thẳng BM.
C(a) Giao tuyến là đường thẳng AO; (b) giao tuyến là đường thẳng BO.
D(a) Giao tuyến là đường thẳng CD; (b) giao tuyến là đường thẳng SC.
Câu 2
(Bài 4.2 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD.
(a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SCD).
(b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBN) và (SAD).
(c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBN).
(a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SCD).
(b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBN) và (SAD).
(c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBN).
AGọi P = AM ∩ CD, Q = BN ∩ AD, R = AM ∩ BN. Khi đó: (a) giao tuyến là SP; (b) giao tuyến là SQ; (c) giao tuyến là SR.
BGọi P = AM ∩ CD, Q = BN ∩ AD, R = AM ∩ BN. Khi đó: (a) giao tuyến là AM; (b) giao tuyến là BN; (c) giao tuyến là MN.
CGọi P = AM ∩ CD, Q = BN ∩ AD, R = AM ∩ BN. Khi đó: (a) giao tuyến là CD; (b) giao tuyến là AD; (c) giao tuyến là AB.
DGọi P = AM ∩ CD, Q = BN ∩ AD, R = AM ∩ BN. Khi đó: (a) giao tuyến là SN; (b) giao tuyến là SM; (c) giao tuyến là QR.
Câu 3
(Bài 4.3 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Gọi P là điểm thuộc cạnh AD sao cho AP = 2DP. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD).
ATrong mặt phẳng (ABD), gọi E = MP ∩ BD; trong mặt phẳng (ACD), gọi F = NP ∩ CD. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD) là EF.
BTrong mặt phẳng (ABD), gọi E = MN ∩ BD; trong mặt phẳng (ACD), gọi F = MP ∩ CD. Khi đó giao tuyến là EF.
CGiao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD) là BC.
DGiao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD) là NP.
Câu 4
(Bài 4.4 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Gọi P là một điểm thuộc cạnh BC sao cho PC = 2PB.
(a) Xác định giao điểm của đường thẳng BD và mặt phẳng (MNP).
(b) Xác định giao điểm của đường thẳng AC và mặt phẳng (MNP).
(c) Xác định giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP).
(a) Xác định giao điểm của đường thẳng BD và mặt phẳng (MNP).
(b) Xác định giao điểm của đường thẳng AC và mặt phẳng (MNP).
(c) Xác định giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP).
A(a) Trong mặt phẳng (BCD), gọi E = NP ∩ BD, khi đó E là giao điểm cần tìm; (b) trong mặt phẳng (ABC), gọi F = MP ∩ AC, khi đó F là giao điểm cần tìm; (c) trong mặt phẳng (ACD), gọi G = NF ∩ AD, khi đó G là giao điểm cần tìm.
B(a) Giao điểm là N; (b) giao điểm là M; (c) giao điểm là P.
C(a) Trong mặt phẳng (BCD), gọi E = MP ∩ BD; (b) trong mặt phẳng (ABC), gọi F = NP ∩ AC; (c) trong mặt phẳng (ACD), gọi G = MF ∩ AD.
D(a) Giao điểm là B; (b) giao điểm là C; (c) giao điểm là D.
Câu 5
(Bài 4.5 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác SCD.
(a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC).
(b) Xác định giao điểm của đường thẳng BO và mặt phẳng (SAC).
(a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC).
(b) Xác định giao điểm của đường thẳng BO và mặt phẳng (SAC).
ATrong mặt phẳng (SCD), gọi M = SO ∩ CD. Trong mặt phẳng (ABCD), gọi N = BM ∩ AC. Khi đó (a) giao tuyến của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC) là SN; (b) trong mặt phẳng (SBO), gọi P = SN ∩ BO, khi đó P là giao điểm của BO và (SAC).
BTrong mặt phẳng (SCD), gọi M = SO ∩ CD. Khi đó (a) giao tuyến là BM; (b) giao điểm của BO và (SAC) là O.
CTrong mặt phẳng (ABCD), gọi N = BO ∩ AC. Khi đó (a) giao tuyến là BN; (b) giao điểm của BO và (SAC) là B.
D(a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC) là SC; (b) giao điểm của BO và (SAC) là C.
Câu 6
(Bài 4.6 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1) Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho AE =
BE và AF = 2CF. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác BCD.
(a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (OEF) và (ABD).
(b) Xác định giao điểm, nếu có, của đường thẳng AD và mặt phẳng (OEF).
(a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (OEF) và (ABD).
(b) Xác định giao điểm, nếu có, của đường thẳng AD và mặt phẳng (OEF).
ATrong mặt phẳng (ABC), gọi G = EF ∩ BC. Trong mặt phẳng (BCD), gọi H = OG ∩ BD. Khi đó (a) giao tuyến của hai mặt phẳng (OEF) và (ABD) là EH; (b) trong mặt phẳng (ABD), gọi I = EH ∩ AD nếu có, khi đó I là giao điểm của AD và (OEF).
BTrong mặt phẳng (ABC), gọi G = EF ∩ BC. Khi đó (a) giao tuyến là OG; (b) giao điểm của AD và (OEF) là D.
C(a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (OEF) và (ABD) là EF; (b) giao điểm của AD và (OEF) là A.
DTrong mặt phẳng (BCD), gọi H = OG ∩ CD. Khi đó (a) giao tuyến là FH; (b) giao điểm của AD và (OEF) là H.
Câu 7
(Bài 4.7 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1) Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, AD. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác BCD.
(a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABO) và (ACD).
(b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABO) và (MNP).
(c) Xác định giao điểm của đường thẳng AO và mặt phẳng (MNP).
(a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABO) và (ACD).
(b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABO) và (MNP).
(c) Xác định giao điểm của đường thẳng AO và mặt phẳng (MNP).
ATrong mặt phẳng (BCD), gọi E = BO ∩ CD. Khi đó (a) giao tuyến của (ABO) và (ACD) là AE. Trong mặt phẳng (ACD), gọi F = AE ∩ NP. Khi đó (b) giao tuyến của (ABO) và (MNP) là MF. Trong mặt phẳng (ABE), gọi G = AO ∩ MF. Khi đó (c) G là giao điểm của AO và (MNP).
BTrong mặt phẳng (BCD), gọi E = BO ∩ CD. Khi đó (a) giao tuyến là BE; (b) giao tuyến là MN; (c) giao điểm là O.
C(a) Giao tuyến của (ABO) và (ACD) là AC; (b) giao tuyến của (ABO) và (MNP) là MP; (c) giao điểm là A.
DTrong mặt phẳng (BCD), gọi E = BO ∩ CD. Khi đó (a) giao tuyến là CD; (b) giao tuyến là NP; (c) giao điểm là P.
Câu 8
(Bài 4.8 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hình tứ diện SABC và các điểm A', B', C' lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC. Giả sử hai đường thẳng B'C' và BC cắt nhau tại D, hai đường thẳng C'A' và CA cắt nhau tại E và hai đường thẳng A'B' và AB cắt nhau tại F. Chứng minh rằng ba điểm D, E, F thẳng hàng. Chọn lập luận đúng.
AD, E, F đều là các điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (A'B'C'). Vì các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó nên D, E, F thẳng hàng.
BD, E, F lần lượt thuộc các cạnh của tam giác ABC nên D, E, F thẳng hàng.
CD, E, F lần lượt thuộc các cạnh của tam giác A'B'C' nên D, E, F thẳng hàng.
DVì B'C' // BC, C'A' // CA và A'B' // AB nên D, E, F thẳng hàng.
Câu 9
(Bài 4.9 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d và một điểm O nằm ngoài cả hai mặt phẳng đó. Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng (P) sao cho AB cắt d tại C. Gọi D, E lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng OA, OB và mặt phẳng (Q). Chứng minh rằng ba điểm C, D, E thẳng hàng. Chọn lập luận đúng.
AC, D, E đều là các điểm chung của hai mặt phẳng (OAB) và (Q). Vì các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó nên C, D, E thẳng hàng.
BC, D, E đều thuộc mặt phẳng (P), do đó C, D, E thẳng hàng.
CC, D, E đều thuộc đường thẳng d, do đó C, D, E thẳng hàng.
DC, D, E lần lượt thuộc các đường thẳng AB, OA, OB nên C, D, E thẳng hàng.
Câu 10
(Bài 4.10 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1) Đánh dấu một điểm trên mép của tờ giấy A4 và dùng kéo cắt một đường bất kì đi qua điểm đó, trong khi cắt không xoay kéo. Hãy giải thích vì sao đường cắt nhận được trên tờ giấy luôn là đường thẳng.
AĐường cắt là giao tuyến của hai mặt phẳng: mặt phẳng chứa tờ giấy và mặt phẳng tạo bởi hai lưỡi kéo. Vì giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng nên đường cắt luôn là đường thẳng.
BĐường cắt luôn là đường thẳng vì mép giấy là đường thẳng.
CĐường cắt luôn là đường thẳng vì tờ giấy A4 có dạng hình chữ nhật.
DĐường cắt luôn là đường thẳng vì kéo chỉ cắt được theo phương thẳng đứng.
Câu 11
(Bài 4.11 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1) Bạn Huy đổ nước màu vào một chiếc bể cá có các mặt đều làm bằng kính phẳng. Sau một vài hôm nước bay hơi một phần và để lại trên thành bể các vệt màu như trong Hình 4.5. Huy quan sát thấy rằng, dù bể cá có hình dạng như thế nào, miễn là các mặt đều phẳng, thì vệt màu trên mỗi thành bể đều là các đường thẳng. Hãy giải thích vì sao.
[Hình Ảnh]
[Hình Ảnh]
AVệt màu trên mỗi thành bể là giao tuyến của hai mặt phẳng: mặt phẳng tạo bởi thành bể và mặt phẳng mặt nước. Vì giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng nên vệt màu trên mỗi thành bể là đường thẳng.
BVệt màu trên mỗi thành bể là đường thẳng vì nước luôn bay hơi theo phương thẳng đứng.
CVệt màu trên mỗi thành bể là đường thẳng vì đáy bể cá là mặt phẳng.
DVệt màu trên mỗi thành bể là đường thẳng vì các cạnh của bể cá đều là đường thẳng.
Câu 12
(Bài 4.12 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1) Một số chiếc bàn có thiết kế khung sắt là hai hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục, mặt bàn là một tấm gỗ phẳng được đặt lên phần khung như trong Hình 4.6. Tính chất hình học nào giải thích việc mặt bàn có thể được giữ cố định bởi khung sắt? Giả sử khung sắt chắc chắn và được đặt cân đối.
[Hình Ảnh]
[Hình Ảnh]
AMột mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau. Vì khung sắt tạo nên hai đường thẳng cắt nhau đỡ mặt bàn nên mặt bàn có thể được giữ cố định.
BMột mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó chứa một đường thẳng.
CMột mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó có một điểm chung với một đường thẳng.
DMột mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó song song với một đường thẳng.