Bài 23 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 2

(Bài 7.7 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
(a) BC ⟂ (OAH);
(b) H là trực tâm của tam giác ABC;
(c)

\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}

.

AVì OA ⟂ OB và OA ⟂ OC nên OA ⟂ (OBC), suy ra OA ⟂ BC. Lại có OH ⟂ (ABC) nên OH ⟂ BC, do đó BC ⟂ (OAH). Từ đó BC ⟂ AH nên AH là đường cao của tam giác ABC. Tương tự, AC ⟂ BH nên BH là đường cao của tam giác ABC. Vậy H là trực tâm tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BC. Trong tam giác vuông OAK có đường cao OH:

\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O K^{2}}

. Trong tam giác vuông OBC có đường cao OK:

\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}

. Suy ra

\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}

BVì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trung điểm của BC. Do đó BC ⟂ (OAH) và

\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}

CVì OH ⟂ (ABC) nên H là trực tâm tam giác ABC. Từ đó suy ra ngay BC ⟂ (OAH) và

\frac{1}{O H^{2}} = O A^{2} + O B^{2} + O C^{2}

DVì OA ⟂ OB, OB ⟂ OC, OC ⟂ OA nên tam giác ABC vuông tại H. Do đó BC ⟂ (OAH) và

O H^{2} = O A^{2} + O B^{2} + O C^{2}

Câu 3

(Bài 7.8 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2) Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Chứng minh rằng AD ⟂ BC.

AGọi M là trung điểm của BC. Vì AB = AC nên trong tam giác ABC, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, suy ra AM ⟂ BC. Vì DB = DC nên trong tam giác DBC, DM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, suy ra DM ⟂ BC. Do đó BC ⟂ (ADM), suy ra BC ⟂ AD

BVì AB = AC và DB = DC nên AD là đường trung trực của BC, suy ra AD // BC

CVì AB = AC nên AM ⟂ BC. Từ đó suy ra AD ⟂ BC mà không cần xét điểm D

DVì DB = DC nên D nằm trên đường trung trực của BC, suy ra AD trùng với đường trung trực của BC và AD // BC

Câu 4

(Bài 7.9 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh rằng:
(a) BB' ⟂ (A'B'C');
(b) B'C' ⟂ (ABB'A').

AVì AA' // BB', AA' ⟂ (ABC) và (ABC) // (A'B'C') nên BB' ⟂ (A'B'C'). Mặt khác, tam giác ABC vuông tại B nên BC ⟂ AB. Do AA' // BB' và AA' ⟂ (ABC) nên BB' ⟂ (ABC), suy ra BC ⟂ BB'. Vậy BC ⟂ (ABB'A'). Vì B'C' // BC nên B'C' ⟂ (ABB'A')

BVì AA' ⟂ (ABC) nên AA' ⟂ (A'B'C'), từ đó suy ra BB' ⟂ (A'B'C'). Vì B'C' // AB nên B'C' ⟂ (ABB'A')

CVì tam giác ABC vuông tại B nên AB ⟂ AC. Do đó BB' ⟂ (A'B'C') và B'C' ⟂ (ABB'A')

DVì AA' // BB' nên BB' // (A'B'C'). Vì B'C' // BC nên B'C' // (ABB'A')

Câu 5

(Bài 7.10 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:
(a) SO ⟂ (ABCD);
(b) AC ⟂ (SBD) và BD ⟂ (SAC).

AVì ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC và BD. Trong tam giác SAC, SA = SC nên SO là trung tuyến đồng thời là đường cao, suy ra SO ⟂ AC. Trong tam giác SBD, SB = SD nên SO là trung tuyến đồng thời là đường cao, suy ra SO ⟂ BD. Do AC và BD cắt nhau trong mặt phẳng (ABCD), suy ra SO ⟂ (ABCD). Lại có AC ⟂ BD trong hình thoi và AC ⟂ SO nên AC ⟂ (SBD). Tương tự, BD ⟂ AC và BD ⟂ SO nên BD ⟂ (SAC)

BVì SA = SC và SB = SD nên S là tâm của hình thoi ABCD, suy ra SO nằm trong mặt phẳng (ABCD). Do đó AC ⟂ (SBD) và BD ⟂ (SAC)

CVì ABCD là hình thoi nên AC // BD. Lại có SO ⟂ AC và SO ⟂ BD nên SO ⟂ (ABCD)

DVì SA = SC nên SO ⟂ AC. Vì SB = SD nên SO ⟂ BD. Từ đó suy ra AC // (SBD) và BD // (SAC)

Câu 6

(Bài 7.11 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2) Cho hình chóp S.ABC có SA ⟂ (ABC), tam giác ABC nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
(a) BC ⟂ (SAH) và các đường thẳng AH, BC, SK đồng quy;
(b) SB ⟂ (CHK) và HK ⟂ (SBC).

AVì H là trực tâm tam giác ABC nên BC ⟂ AH, lại có SA ⟂ (ABC) nên SA ⟂ BC. Do đó BC ⟂ (SAH). Gọi M là giao điểm của AH và BC. Khi đó BC ⟂ (SAM), suy ra BC ⟂ SM. Vì K là trực tâm tam giác SBC nên SK đi qua M, vậy AH, BC, SK đồng quy. Ngoài ra, CH ⟂ AB và SA ⟂ CH nên CH ⟂ (SAB), suy ra CH ⟂ SB. Lại có SB ⟂ CK nên SB ⟂ (CHK). Từ đó SB ⟂ HK. Mặt khác, K là trực tâm tam giác SBC nên BK ⟂ SC; đồng thời BH ⟂ (SAC) nên BH ⟂ SC, suy ra SC ⟂ HK. Vậy HK ⟂ (SBC)

BVì H là trực tâm tam giác ABC nên AH // BC, từ đó AH, BC, SK đồng quy. Vì K là trực tâm tam giác SBC nên SB // CH và HK // (SBC)

CVì SA ⟂ (ABC) nên SA ⟂ AH và SA ⟂ BC. Do đó BC ⟂ (SAH). Từ đó suy ra ngay SB ⟂ (CHK) và HK ⟂ (SBC)

DVì H và K đều là trực tâm nên H, K, S thẳng hàng. Do đó AH, BC, SK đồng quy và HK ⟂ (SBC)

Câu 7

(Bài 7.12 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2) Một cây cột được dựng trên một sàn phẳng. Người ta thả dây dọi và ngắm thấy cột song song với dây dọi. Hỏi có thể khẳng định rằng cây cột vuông góc với sàn hay không? Vì sao?

ACó thể khẳng định cây cột vuông góc với sàn, vì dây dọi vuông góc với mặt phẳng sàn và cây cột song song với dây dọi nên cây cột cũng vuông góc với mặt phẳng sàn

BKhông thể khẳng định cây cột vuông góc với sàn, vì hai đường thẳng song song thì không cùng vuông góc với một mặt phẳng

CCó thể khẳng định cây cột nằm trong mặt phẳng sàn, vì cây cột song song với dây dọi

DKhông thể khẳng định cây cột vuông góc với sàn, vì dây dọi chỉ cho biết phương thẳng đứng chứ không liên quan đến mặt phẳng sàn