Bài 25 Hai mặt phẳng vuông góc

Lớp 11Toán Tập 28 câu hỏiBài tập
Tải Word | Làm thử | Giao đề

Phần 1

Câu 1

(Bài 7.19 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ AH vuông góc với BM tại H.
(a) Chứng minh rằng AH ⟂ (BCD).
(b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD).
AVì M là trung điểm của CD nên BM ⟂ CD và AM ⟂ CD. Do đó CD ⟂ (ABM), suy ra CD ⟂ AH. Lại có AH ⟂ BM nên AH ⟂ (BCD). Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (BCD) và (ACD) bằng 1 3
BVì AH ⟂ BM nên AH ⟂ (BCD). Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (BCD) và (ACD) bằng 1 2
CVì CD ⟂ BM nên AH ⟂ CD. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (BCD) và (ACD) bằng 3 3
DVì tứ diện ABCD đều nên mọi mặt bên đôi một vuông góc. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (BCD) và (ACD) bằng 0

Câu 2

(Bài 7.20 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2) Cho tứ diện ABCD có AC = BC, AD = BD. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng (CDM) ⟂ (ABC) và (CDM) ⟂ (ABD).
AVì AC = BC nên tam giác ABC cân tại C, M là trung điểm của AB nên CM ⟂ AB. Vì AD = BD nên tam giác ABD cân tại D, M là trung điểm của AB nên DM ⟂ AB. Do CM và DM cắt nhau trong mặt phẳng (CDM), suy ra AB ⟂ (CDM). Mà AB thuộc (ABC) và AB thuộc (ABD), nên (CDM) ⟂ (ABC) và (CDM) ⟂ (ABD)
BVì AC = BC và AD = BD nên CD ⟂ AB, từ đó suy ra ngay (CDM) ⟂ (ABC) và (CDM) ⟂ (ABD)
CVì M là trung điểm của AB nên CM // DM, suy ra (CDM) ⟂ (ABC) và (CDM) ⟂ (ABD)
DVì AC = BC và AD = BD nên C, D, M thẳng hàng, suy ra (CDM) ⟂ (ABC) và (CDM) ⟂ (ABD)

Câu 3

(Bài 7.21 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, ∠BAD = 60°. Kẻ OH vuông góc với SC tại H. Biết SA ⟂ (ABCD) và S A = a 6 2 . Chứng minh rằng:
(a) (SBD) ⟂ (SAC);
(b) (SBC) ⟂ (BDH);
(c) (SBC) ⟂ (SCD).
AVì SA ⟂ (ABCD) nên SA ⟂ BD, lại có AC ⟂ BD trong hình thoi, suy ra BD ⟂ (SAC), do đó (SBD) ⟂ (SAC). Vì BD ⟂ (SAC) nên BD ⟂ SC, lại có OH ⟂ SC, suy ra SC ⟂ (BDH), do đó (SBC) ⟂ (BDH). Từ các hệ thức độ dài suy ra tam giác BDH vuông tại H; vì BH ⟂ SC, DH ⟂ SC nên góc giữa (SBC) và (SCD) là ∠BHD = 90°, do đó (SBC) ⟂ (SCD)
BVì ABCD là hình thoi nên AC // BD, suy ra (SBD) ⟂ (SAC). Vì OH ⟂ SC nên (SBC) ⟂ (BDH) và (SBC) ⟂ (SCD)
CVì SA ⟂ (ABCD) nên SA ⟂ SC, suy ra (SBD) ⟂ (SAC), (SBC) ⟂ (BDH) và (SBC) ⟂ (SCD)
DVì ∠BAD = 60° nên tam giác ABD vuông tại A, suy ra BD ⟂ (SAC), từ đó có ba kết luận cần chứng minh

Câu 4

(Bài 7.22 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2) Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau:
(a) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD).
(b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC).
A(a) 3 3 ; (b) 1 3
B(a) 1 3 ; (b) 3 3
C(a) 2 2 ; (b) 1 2
D(a) 1 2 ; (b) 2 2

Câu 5

(Bài 7.23 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.
(a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD).
(b) Tính côsin của số đo góc nhị diện [A', BD, C'].
A(a) 3 3 ; (b) 1 3
B(a) 1 3 ; (b) 3 3
C(a) 2 2 ; (b) 1 2
D(a) 1 2 ; (b) 2 2

Câu 6

(Bài 7.24 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) ⟂ (ABCD), (SAD) ⟂ (ABCD) và SA = a. Tính côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] và góc nhị diện [B, SC, D].
Acos[S, BD, C] = − 3 3 ; cos[B, SC, D] = − 1 2
Bcos[S, BD, C] = 3 3 ; cos[B, SC, D] = 1 2
Ccos[S, BD, C] = − 1 2 ; cos[B, SC, D] = − 3 3
Dcos[S, BD, C] = 1 2 ; cos[B, SC, D] = 3 3

Câu 7

(Bài 7.25 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và AB.
(a) Tính côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD).
(b) Chứng minh rằng (SMD) ⟂ (SHC).
A(a) Côsin của góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) bằng 1 0 4 . (b) Vì tam giác SAD đều nên SH ⟂ AD; lại có (SAD) ⟂ (ABCD) nên SH ⟂ (ABCD). Do đó SH ⟂ DM. Mặt khác, từ các tam giác vuông bằng nhau trong hình vuông suy ra DM ⟂ CH. Vậy DM ⟂ (SHC), mà DM thuộc (SMD), nên (SMD) ⟂ (SHC)
B(a) Côsin của góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) bằng 6 4 . (b) Vì DM ⟂ SH nên suy ra ngay (SMD) ⟂ (SHC)
C(a) Côsin của góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) bằng 1 2 . (b) Vì H, M là trung điểm nên HM // BD, suy ra (SMD) ⟂ (SHC)
D(a) Côsin của góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) bằng 2 2 . (b) Vì tam giác SAD đều nên SD ⟂ SA, suy ra (SMD) ⟂ (SHC)

Câu 8

(Bài 7.26 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2) Một viên bi được thả lăn trên một mặt phẳng nằm nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Coi viên bi chịu tác dụng của hai lực chính là lực hút của Trái Đất theo phương thẳng đứng, hướng xuống dưới và phản lực, vuông góc với mặt phẳng nằm nghiêng, hướng lên trên. Giải thích vì sao viên bi di chuyển trên một đường thẳng vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng nằm nghiêng và mặt phẳng nằm ngang.
AGọi a là giao tuyến của mặt phẳng nằm ngang và mặt phẳng nằm nghiêng. Phương của trọng lực vuông góc với mặt phẳng nằm ngang nên vuông góc với a; phương của phản lực vuông góc với mặt phẳng nghiêng nên cũng vuông góc với a. Do đó a vuông góc với mặt phẳng chứa phương của hai lực. Tổng hợp lực của hai lực này có phương nằm trong mặt phẳng đó, nên phương chuyển động của viên bi vuông góc với a
BVì viên bi chịu trọng lực nên viên bi luôn chuyển động theo phương thẳng đứng, do đó vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng
CVì mặt phẳng nghiêng không song song với mặt phẳng nằm ngang nên mọi đường trên mặt phẳng nghiêng đều vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng
DVì phản lực vuông góc với mặt phẳng nghiêng nên viên bi chuyển động theo phương của phản lực, do đó vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng
Tải Word | Làm thử | Giao đề bài này ngay