Bài 11 Hai đường thẳng song song
Lớp 11Toán Tập 19 câu hỏiBài tập
Phần 1
Câu 1
(Bài 4.13 trang 59 SBT Toán 11 Tập 1) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, BC, CD. Xác định giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) trong các trường hợp sau:
(a) Đường thẳng NP song song với đường thẳng BD;
(b) Đường thẳng NP cắt đường thẳng BD.
(a) Đường thẳng NP song song với đường thẳng BD;
(b) Đường thẳng NP cắt đường thẳng BD.
A(a) Trong mặt phẳng (ABD), vẽ MQ // BD, Q ∈ AD. Khi đó Q là giao điểm của AD và (MNP). (b) Trong mặt phẳng (BCD), gọi R = NP ∩ BD; trong mặt phẳng (ABD), gọi S = MR ∩ AD. Khi đó S là giao điểm của AD và (MNP).
B(a) Giao điểm là M. (b) Giao điểm là N.
C(a) Trong mặt phẳng (ABD), vẽ MQ // AD, Q ∈ BD. Khi đó Q là giao điểm cần tìm. (b) Gọi R = NP ∩ CD, S = MR ∩ AD. Khi đó S là giao điểm cần tìm.
D(a) Giao điểm là P. (b) Giao điểm là R = NP ∩ BD.
Câu 2
(Bài 4.14 trang 59 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh SC.
(a) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (MAB) với các mặt của hình chóp.
(b) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (MAD) với các mặt của hình chóp.
(a) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (MAB) với các mặt của hình chóp.
(b) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (MAD) với các mặt của hình chóp.
A(a) Với (ABCD): AB; với (SAB): AB; với (SBC): MB. Trong mặt phẳng (SCD), vẽ MN // CD, N ∈ SD, khi đó với (SCD): MN và với (SAD): AN. (b) Với (ABCD): AD; với (SAD): AD; với (SCD): MD. Trong mặt phẳng (SBC), vẽ MP // BC, P ∈ SB, khi đó với (SBC): MP và với (SAB): AP.
B(a) Các giao tuyến lần lượt là AB, AB, MC, CD, SD. (b) Các giao tuyến lần lượt là AD, AD, MC, BC, SB.
C(a) Với (ABCD): CD; với (SAB): SA; với (SBC): MB; với (SCD): SC; với (SAD): SD. (b) Với (ABCD): BC; với (SAD): SD; với (SCD): MD; với (SBC): SB; với (SAB): SA.
D(a) Các giao tuyến đều đi qua M. (b) Các giao tuyến đều đi qua M.
Câu 3
(Bài 4.15 trang 59 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB // CD. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SD.
(a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (MCD) và (NAB).
(b) Chứng minh rằng d // AB.
(a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (MCD) và (NAB).
(b) Chứng minh rằng d // AB.
ATrong mặt phẳng (SAD), gọi P = AN ∩ DM. Hai mặt phẳng (NAB) và (MCD) có điểm chung P và lần lượt chứa hai đường thẳng song song AB, CD. Do đó giao tuyến d là đường thẳng đi qua P và song song với AB, CD; suy ra d // AB.
BGiao tuyến d là đường thẳng MN, do đó d // AB.
CGiao tuyến d là đường thẳng SD, do đó d // AB.
DGiao tuyến d là đường thẳng AC, do đó d // AB.
Câu 4
(Bài 4.16 trang 59 SBT Toán 11 Tập 1) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
(a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ANP) và (CMQ).
(b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ANP) và (ABD).
(c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (CMQ) và (BCD).
(d) Chứng minh rằng các giao tuyến tìm được ở trên đôi một song song với nhau.
(a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ANP) và (CMQ).
(b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ANP) và (ABD).
(c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (CMQ) và (BCD).
(d) Chứng minh rằng các giao tuyến tìm được ở trên đôi một song song với nhau.
A(a) Trong mặt phẳng (ABC), gọi E = AN ∩ CM; trong mặt phẳng (ACD), gọi F = AP ∩ CQ. Khi đó giao tuyến của (ANP) và (CMQ) là EF. (b) Giao tuyến của (ANP) và (ABD) là đường thẳng qua A và song song với BD. (c) Giao tuyến của (CMQ) và (BCD) là đường thẳng qua C và song song với BD. (d) Các giao tuyến trên đều song song với BD nên đôi một song song với nhau.
B(a) Giao tuyến là AC. (b) Giao tuyến là AB. (c) Giao tuyến là CD. (d) Các giao tuyến đôi một cắt nhau.
C(a) Giao tuyến là NP. (b) Giao tuyến là AN. (c) Giao tuyến là CM. (d) Các giao tuyến không song song.
D(a) Giao tuyến là MQ. (b) Giao tuyến là AD. (c) Giao tuyến là BC. (d) Các giao tuyến đều đi qua một điểm.
Câu 5
(Bài 4.17 trang 59 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của hai hình bình hành đó. Chứng minh rằng ba đường thẳng GH, CE, DF đôi một song song.
AVì G là trung điểm của AC và BD, H là trung điểm của AE và BF. Trong tam giác ACE, GH là đường trung bình nên GH // CE. Trong tam giác BDF, GH là đường trung bình nên GH // DF. Vậy GH, CE, DF đôi một song song.
BVì ABCD và ABEF là hai hình bình hành nên CE // DF, nhưng GH không song song với CE.
CVì G, H lần lượt là giao điểm hai đường chéo nên GH cắt CE và DF.
DVì ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng nên GH, CE, DF không thể song song.
Câu 6
(Bài 4.18 trang 59-60 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB // CD. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SBC.
(a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Chứng minh rằng EF // MN, từ đó suy ra EF // AB.
(b) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (AEF) với các mặt của hình chóp.
(c) Trong các giao tuyến tìm được ở câu b, giao tuyến nào song song với đường thẳng EF?
(a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Chứng minh rằng EF // MN, từ đó suy ra EF // AB.
(b) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (AEF) với các mặt của hình chóp.
(c) Trong các giao tuyến tìm được ở câu b, giao tuyến nào song song với đường thẳng EF?
A(a) Trong tam giác SMN, E ∈ SM, F ∈ SN và SE/SM = SF/SN = 2/3 nên EF // MN. Vì MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên MN // AB, suy ra EF // AB. (b) Với (ABCD): AB; với (SAB): AB; với (SBC): BF; với (SAD): AE. Gọi I = AE ∩ SD, trong mặt phẳng (SCD) vẽ d qua I và d // CD, khi đó giao tuyến với (SCD) là d. (c) Các giao tuyến song song với EF là AB và d.
B(a) EF // SC, suy ra EF // AB. (b) Các giao tuyến là AC, BD, SC, SD. (c) Chỉ có AC song song với EF.
C(a) EF // AD, suy ra EF // CD. (b) Các giao tuyến là AE, EF, BF, CD. (c) Chỉ có EF song song với chính nó.
D(a) EF cắt MN. (b) Các giao tuyến đều đi qua S. (c) Không có giao tuyến nào song song với EF.
Câu 7
(Bài 4.19 trang 60 SBT Toán 11 Tập 1) Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng cắt bốn cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại các điểm M, N, P, Q.
(a) Chứng minh rằng các đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song hoặc đồng quy.
(b) Chứng minh rằng các đường thẳng MQ, NP, BD đôi một song song hoặc đồng quy.
(a) Chứng minh rằng các đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song hoặc đồng quy.
(b) Chứng minh rằng các đường thẳng MQ, NP, BD đôi một song song hoặc đồng quy.
A(a) Gọi mặt phẳng cắt tứ diện là (MNPQ). Khi đó MN, PQ, AC lần lượt là ba giao tuyến của các cặp mặt phẳng (MNPQ) và (ABC), (MNPQ) và (ACD), (ABC) và (ACD). Theo định lí ba đường giao tuyến, MN, PQ, AC đôi một song song hoặc đồng quy. (b) Tương tự, MQ, NP, BD lần lượt là ba giao tuyến của các cặp mặt phẳng (MNPQ) và (ABD), (MNPQ) và (BCD), (ABD) và (BCD). Do đó MQ, NP, BD đôi một song song hoặc đồng quy.
B(a) MN, PQ, AC luôn đồng quy. (b) MQ, NP, BD luôn đồng quy.
C(a) MN, PQ, AC luôn đôi một song song. (b) MQ, NP, BD luôn đôi một song song.
D(a) MN, PQ, AC không thể đồng quy. (b) MQ, NP, BD không thể song song.
Câu 8
(Bài 4.20 trang 60 SBT Toán 11 Tập 1) Một chiếc thang được đặt sao cho hai đầu của chân thang dựa vào tường, hai đầu còn lại nằm trên sàn nhà. Biết rằng chiếc thang có dạng hình chữ nhật, hãy giải thích vì sao hai đầu của chân thang nằm trên sàn nhà lại cách đều đường chân tường.
AÁp dụng định lí ba đường giao tuyến cho ba mặt phẳng: mặt sàn nhà, mặt chân tường và mặt phẳng tạo bởi bốn đầu của chân thang. Suy ra đường thẳng đi qua hai đầu của chân thang trên sàn nhà song song với đường chân tường, nên hai đầu chân thang nằm trên sàn nhà cách đều đường chân tường.
BVì chiếc thang có dạng hình chữ nhật nên mọi điểm của thang đều cách đều đường chân tường.
CVì hai đầu chân thang nằm trên sàn nhà nên chúng luôn cách đều đường chân tường.
DVì mặt sàn nhà vuông góc với mặt tường nên mọi đường thẳng trên sàn đều song song với đường chân tường.
Câu 9
(Bài 4.21 trang 60 SBT Toán 11 Tập 1) Bạn Hà lấy một tờ giấy hình chữ nhật và gấp tờ giấy sao cho hai mép của tờ giấy song song với nhau. Hà thấy rằng dù gấp thế nào thì đường nếp gấp vẫn luôn song song với hai mép của tờ giấy. Hãy giải thích vì sao.
AHai nửa của tờ giấy có thể coi như hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song là hai mép giấy. Đường nếp gấp chính là giao tuyến của hai mặt phẳng này nên nó song song với hai mép giấy.
BĐường nếp gấp luôn song song với hai mép giấy vì tờ giấy ban đầu là hình chữ nhật.
CĐường nếp gấp luôn song song với hai mép giấy vì hai mép giấy có độ dài bằng nhau.
DĐường nếp gấp luôn song song với hai mép giấy vì khi gấp giấy, mọi đường thẳng trên giấy đều song song với nhau.