Bài 20 Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Câu 1

(Bài 6.21 trang 14 SBT Toán 11 Tập 2) Vẽ đồ thị của các hàm số mũ sau:
(a)

y = {(\sqrt{3})}^{x}

(b)

y = {(\frac{1}{4})}^{x}

Chọn bảng giá trị và nhận xét đúng để vẽ đồ thị.

A(a) Đồ thị đi qua các điểm (-2;

\frac{1}{3}

), (-1;

\frac{\sqrt{3}}{3}

), (0; 1), (1; √3), (2; 3), đồng biến trên ℝ, có tiệm cận ngang y = 0; (b) đồ thị đi qua các điểm (-2; 16), (-1; 4), (0; 1), (1;

\frac{1}{4}

), (2;

\frac{1}{16}

), nghịch biến trên ℝ, có tiệm cận ngang y = 0

B(a) Đồ thị đi qua các điểm (-2; 3), (-1; √3), (0; 1), (1;

\frac{\sqrt{3}}{3}

), (2;

\frac{1}{3}

), nghịch biến trên ℝ; (b) đồ thị đi qua các điểm (-2;

\frac{1}{16}

), (-1;

\frac{1}{4}

), (0; 1), (1; 4), (2; 16), đồng biến trên ℝ

C(a) Đồ thị đi qua các điểm (-2;

\frac{1}{3}

), (-1;

\frac{\sqrt{3}}{3}

), (0; 0), (1; √3), (2; 3); (b) đồ thị đi qua các điểm (-2; 16), (-1; 4), (0; 0), (1;

\frac{1}{4}

), (2;

\frac{1}{16}

)

D(a) Đồ thị là đường thẳng đi qua (0; 1) và (1; √3); (b) đồ thị là đường thẳng đi qua (0; 1) và (1;

\frac{1}{4}

)

Câu 2

(Bài 6.22 trang 14 SBT Toán 11 Tập 2) Vẽ đồ thị của các hàm số lôgarit sau:
(a)

y = l o g_{\sqrt{3}} x

(b)

y = l o g_{\frac{2}{3}} x

Chọn bảng giá trị và nhận xét đúng để vẽ đồ thị.

A(a) Đồ thị đi qua các điểm (

\frac{1}{\sqrt{3}}

; -1), (1; 0), (√3; 1), (3; 2), đồng biến trên (0; +∞), có tiệm cận đứng x = 0; (b) đồ thị đi qua các điểm (

\frac{3}{2}

; -1), (1; 0), (

\frac{2}{3}

; 1), (

\frac{4}{9}

; 2), nghịch biến trên (0; +∞), có tiệm cận đứng x = 0

B(a) Đồ thị đi qua các điểm (

\frac{1}{\sqrt{3}}

; 1), (1; 0), (√3; -1), (3; -2), nghịch biến trên (0; +∞); (b) đồ thị đi qua các điểm (

\frac{3}{2}

; 1), (1; 0), (

\frac{2}{3}

; -1), (

\frac{4}{9}

; -2), đồng biến trên (0; +∞)

C(a) Đồ thị đi qua các điểm (0; 1), (1; √3), (2; 3); (b) đồ thị đi qua các điểm (0; 1), (1;

\frac{2}{3}

), (2;

\frac{4}{9}

)

DCả hai đồ thị đều là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O

Câu 3

(Bài 6.23 trang 14 SBT Toán 11 Tập 2) Cho hàm số mũ f(x) = aˣ, a > 0. Chứng minh rằng:
(a)

\frac{f (x + 1)}{f (x)} = a

(b)

f (- x) = \frac{1}{f (x)}

(c) f(x₁ + x₂) = f(x₁).f(x₂)
Chọn lập luận đúng.

AVì f(x) = aˣ nên

\frac{f (x + 1)}{f (x)} = \frac{a^{x + 1}}{a^{x}} = a

;

f (- x) = a^{- x} = \frac{1}{a^{x}} = \frac{1}{f (x)}

; f(x₁ + x₂) =

a^{x_{1} + x_{2}} = a^{x_{1}} . a^{x_{2}}

= f(x₁).f(x₂)

BVì f(x) = aˣ nên

\frac{f (x + 1)}{f (x)} = x + 1

;

f (- x) = - f (x)

; f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂)

CVì f(x) = aˣ nên

\frac{f (x + 1)}{f (x)} = 1

;

f (- x) = f (x)

; f(x₁ + x₂) = f(x₁) - f(x₂)

DVì f(x) = aˣ nên

\frac{f (x + 1)}{f (x)} = a^{2}

;

f (- x) = \frac{1}{a} f (x)

; f(x₁ + x₂) = 2f(x₁)f(x₂)

Câu 4

(Bài 6.24 trang 14 SBT Toán 11 Tập 2) Tìm tập xác định của các hàm số sau:
(a) y = log₃(x + 1)
(b)

y = l o g_{\frac{1}{2}} | x - 1 |

A(a) D = (-1; +∞); (b) D = ℝ \ {1}

B(a) D = [-1; +∞); (b) D = ℝ

C(a) D = ℝ \ {-1}; (b) D = (1; +∞)

D(a) D = ℝ; (b) D = (-∞; 1)

Câu 5

(Bài 6.25 trang 14 SBT Toán 11 Tập 2) Cho hàm số lôgarit f(x) = logₐx, 0 < a ≠ 1. Chứng minh rằng:
(a)

f (\frac{1}{x}) = - f (x)

(b) f(xᵅ) = αf(x)
Chọn lập luận đúng.

AVới x > 0, ta có

f (\frac{1}{x}) = l o g_{a} \frac{1}{x} = l o g_{a} x^{- 1} = - l o g_{a} x = - f (x)

; đồng thời f(xᵅ) = logₐxᵅ = αlogₐx = αf(x)

BVới x > 0, ta có

f (\frac{1}{x}) = f (x)

; đồng thời f(xᵅ) = f(x) + α

CVới x > 0, ta có

f (\frac{1}{x}) = \frac{1}{f (x)}

; đồng thời f(xᵅ) = f(αx)

DVới x > 0, ta có

f (\frac{1}{x}) = 1 - f (x)

; đồng thời f(xᵅ) = xᵅf(x)

Câu 6

(Bài 6.26 trang 14 SBT Toán 11 Tập 2) Ta định nghĩa các hàm sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau:

s i n h x = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})

,

c o s h x = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})

.
Chứng minh rằng:
(a) sinh x là hàm số lẻ;
(b) cosh x là hàm số chẵn;
(c) (cosh x)² - (sinh x)² = 1 với mọi x.
Chọn lập luận đúng.

ATa có sinh(-x) =

\frac{1}{2} (e^{- x} - e^{x})

= -sinh x nên sinh x là hàm số lẻ; cosh(-x) =

\frac{1}{2} (e^{- x} + e^{x})

= cosh x nên cosh x là hàm số chẵn; ngoài ra

{(c o s h x)}^{2} - {(s i n h x)}^{2} = \frac{(e^{x} + e^{- x})^{2} - (e^{x} - e^{- x})^{2}}{4} = 1

BTa có sinh(-x) = sinh x nên sinh x là hàm số chẵn; cosh(-x) = -cosh x nên cosh x là hàm số lẻ; ngoài ra (cosh x)² - (sinh x)² = 0

CTa có sinh(-x) = -cosh x và cosh(-x) = sinh x; ngoài ra (cosh x)² - (sinh x)² = eˣ

DTa có sinh x và cosh x đều là hàm số lẻ; ngoài ra (cosh x)² - (sinh x)² = 2

Câu 7

(Bài 6.27 trang 15 SBT Toán 11 Tập 2) Nếu một ô kính ngăn khoảng 3% ánh sáng truyền qua nó thì phần trăm ánh sáng p truyền qua n ô kính liên tiếp được cho gần đúng bởi hàm số p(n) = 100.(0,97)ⁿ.
(a) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 10 ô kính?
(b) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 25 ô kính?
Kết quả ở câu a và câu b được làm tròn đến hàng đơn vị.

A(a) Khoảng 74%; (b) khoảng 47%

B(a) Khoảng 97%; (b) khoảng 75%

C(a) Khoảng 70%; (b) khoảng 25%

D(a) Khoảng 30%; (b) khoảng 53%

Câu 8

(Bài 6.28 trang 15 SBT Toán 11 Tập 2) Số tiền ban đầu 120 triệu đồng được gửi tiết kiệm với lãi suất năm không đổi là 6%. Tính số tiền cả vốn lẫn lãi thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép:
(a) hằng quý;
(b) hằng tháng;
(c) liên tục.
Kết quả được tính theo đơn vị triệu đồng và làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba.

A(a) Khoảng 161,623 triệu đồng; (b) khoảng 161,862 triệu đồng; (c) khoảng 161,983 triệu đồng

B(a) Khoảng 156,000 triệu đồng; (b) khoảng 156,000 triệu đồng; (c) khoảng 156,000 triệu đồng

C(a) Khoảng 160,000 triệu đồng; (b) khoảng 162,500 triệu đồng; (c) khoảng 165,000 triệu đồng

D(a) Khoảng 150,623 triệu đồng; (b) khoảng 151,862 triệu đồng; (c) khoảng 152,983 triệu đồng

Câu 9

(Bài 6.29 trang 15 SBT Toán 11 Tập 2) Chu kì bán rã của đồng vị phóng xạ Radi 226 là khoảng 1600 năm. Giả sử khối lượng m, tính bằng gam, còn lại sau t năm của một lượng Radi 226 được cho bởi công thức

m = 25 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{1600}}

.
(a) Khối lượng ban đầu khi t = 0 của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?
(b) Sau 2500 năm khối lượng của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?

A(a) 25 g; (b) khoảng 8,46 g

B(a) 12,5 g; (b) khoảng 8,46 g

C(a) 25 g; (b) khoảng 12,5 g

D(a) 50 g; (b) khoảng 16,92 g

Câu 10

(Bài 6.30 trang 15 SBT Toán 11 Tập 2) Trong Vật lí, mức cường độ âm, tính bằng deciben, kí hiệu là dB, được tính bởi công thức

L = 10 l o g \frac{I}{I_{0}}

, trong đó I là cường độ âm tính theo W/m² và I₀ = 10⁻¹² W/m² là cường độ âm chuẩn, tức là cường độ âm thấp nhất mà tai người có thể nghe được.
(a) Tính mức cường độ âm của một cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm là 10⁻⁷ W/m².
(b) Khi cường độ âm tăng lên 1000 lần thì mức cường độ âm thay đổi thế nào?

A(a) L = 50 dB; (b) mức cường độ âm tăng thêm 30 dB

B(a) L = 30 dB; (b) mức cường độ âm tăng thêm 50 dB

C(a) L = 70 dB; (b) mức cường độ âm giảm 30 dB

D(a) L = 5 dB; (b) mức cường độ âm tăng thêm 1000 dB

Bài 20 Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Phần 1

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

Câu 6

Câu 7

Câu 8

Câu 9

Câu 10