Bài 15 Giới hạn của dãy số

(Bài 5.1 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1) Tính các giới hạn sau:
(a) $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{n^2+1}{2n^2+n+2}$ ;
(b) $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{2^n+3}{1+3^n}$ .

(Bài 5.2 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1) Tính các giới hạn sau:
(a) $\underset{n\to +\infty }{lim}\left(\sqrt{n^2+2n}-n-2\right)$ ;
(b) $\underset{n\to +\infty }{lim}\left(2+n^2-\sqrt{n^4+1}\right)$ ;
(c) $\underset{n\to +\infty }{lim}\left(\sqrt{n^2-n+2}+n\right)$ ;
(d) $\underset{n\to +\infty }{lim}\left(3n-\sqrt{4n^2+1}\right)$ .

(Bài 5.3 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1) Cho $u_n=\frac{1+a+a^2+...+a^n}{1+b+b^2+...+b^n}$ với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b| < 1. Tính $\underset{n\to +\infty }{lim}{u}_n$ .

(Bài 5.4 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1) Tính $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^2+2n}$ .

(Bài 5.5 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1) Tính tổng $S=-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{5^2}+...+{(-1)}^n\frac{1}{5^{n-1}}+...$

(Bài 5.6 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1) Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
(a) 1,(03);
(b) 3,(23).

(Bài 5.7 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1) Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{cosn}{n^2}$ . Tính $\underset{n\to +\infty }{lim}{u}_n$ .

(Bài 5.8 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1) Cho tam giác A₁B₁C₁ có diện tích là 3. Dựng tam giác A₂B₂C₂ bằng cách nối các trung điểm của các cạnh B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác A₃B₃C₃, ..., A_nB_nC_n, ... Kí hiệu s_n là diện tích của tam giác A_nB_nC_n.
(a) Tính s_n.
(b) Tính tổng s₁ + s₂ + ... + s_n + ...

(Bài 5.9 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1) Cho dãy số (u_n) với u₁ = 2, $u_{n+1}=u_n+\frac{2}{3^n}$ , n ≥ 1. Đặt v_n = u_{n+1} - u_n.
(a) Tính v₁ + v₂ + ... + v_n theo n.
(b) Tính u_n theo n.
(c) Tính $\underset{n\to +\infty }{lim}{u}_n$ .

(Bài 5.10 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1) Cho dãy số (u_n) có tính chất $\left|u_n-\frac{n}{n+1}\right|\le \frac{1}{n^2}$ . Tính $\underset{n\to +\infty }{lim}{u}_n$ .