Bài 16 Giới hạn của hàm số

Câu 1

(Bài 5.11 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hàm số

f (x) = {\begin{array}{c} x, & x > 1 \\ 2, & x = 1 \\ 1, & x < 1 \end{array}

. Hàm số f(x) có giới hạn khi x → 1 không?

ACó,

\underset{x \to 1}{l i m} f (x) = 1

BCó,

\underset{x \to 1}{l i m} f (x) = 2

CKhông, vì f(1) = 2

DKhông, vì giới hạn trái và giới hạn phải khác nhau

Câu 2

(Bài 5.12 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1) Tính các giới hạn sau:
(a)

\underset{x \to 2}{l i m} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 3}{x - 2}

;
(b)

\underset{x \to 1}{l i m} \frac{x^{3} + x^{2} + x - 3}{x^{3} - 1}

;
(c)

\underset{x \to 2^{+}}{l i m} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{{(x - 2)}^{2}}

;
(d)

\underset{x \to 0^{-}}{l i m} \frac{x^{2} + x - 2}{x}

.

A(a)

\frac{2}{3}

; (b) 2; (c) -∞; (d) +∞

B(a)

\frac{3}{2}

; (b) 2; (c) +∞; (d) -∞

C(a)

\frac{2}{3}

; (b) 1; (c) -∞; (d) -∞

D(a) 2; (b)

\frac{2}{3}

; (c) +∞; (d) +∞

Câu 3

(Bài 5.13 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1) Tìm a để hàm số

f (x) = {\begin{array}{c} x^{2} + a x, & x > 3 \\ 3 x^{2} + 1, & x \leq 3 \end{array}

có giới hạn khi x → 3.

A

a = \frac{19}{3}

Ba = 3

Ca = 19

D

a = \frac{28}{3}

Câu 4

(Bài 5.14 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1) Tìm các số thực a và b sao cho

\underset{x \to 1}{l i m} \frac{2 x^{2} - a x + 1}{x^{2} - 3 x + 2} = b

.

Aa = 3, b = -1

Ba = 3, b = 1

Ca = -3, b = -1

Da = 1, b = 3

Câu 5

(Bài 5.15 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hàm số

f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - x + 2}}{x}

. Tính:
(a)

\underset{x \to + \infty}{l i m} f (x)

;
(b)

\underset{x \to - \infty}{l i m} f (x)

.

A(a) 1; (b) -1

B(a) 1; (b) 1

C(a) -1; (b) 1

D(a) 0; (b) 0

Câu 6

(Bài 5.16 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1) Tính giới hạn

\underset{x \to + \infty}{l i m} (1 - x) (1 - x^{2}) (1 - x^{3})

.

A-∞

B+∞

C0

D1

Câu 7

(Bài 5.17 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hàm số

g (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x} - \sqrt{x^{2} - 1} - 2 m

với m là tham số. Biết

\underset{x \to + \infty}{l i m} g (x) = 0

, tìm giá trị của m.

A

m = \frac{1}{2}

Bm = 1

Cm = -1

D

m = - \frac{1}{2}

Câu 8

(Bài 5.18 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1) Cho m là một số thực. Biết

\underset{x \to - \infty}{l i m} [(m - x) (m x + 1)] = - \infty

. Xác định dấu của m.

Am > 0

Bm < 0

Cm = 0

Dm ≤ 0

Câu 9

(Bài 5.19 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hàm số

f (x) = \frac{s i n^{2} x}{x^{2}}

. Chứng minh rằng

\underset{x \to + \infty}{l i m} f (x) = 0

. Chọn lập luận đúng.

AVì

0 \leq s i n^{2} x \leq 1

nên

0 \leq \frac{s i n^{2} x}{x^{2}} \leq \frac{1}{x^{2}}

. Mà

\underset{x \to + \infty}{l i m} \frac{1}{x^{2}} = 0

, suy ra

\underset{x \to + \infty}{l i m} f (x) = 0

.

BVì

s i n^{2} x = 1

với mọi x nên

\underset{x \to + \infty}{l i m} f (x) = 0

.

CVì

s i n^{2} x

không có giới hạn khi x → +∞ nên

f (x)

không có giới hạn.

DVì x² → +∞ nên

\frac{s i n^{2} x}{x^{2}} \to + \infty

.

Câu 10

(Bài 5.20 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1) Một đơn vị sản xuất hàng thủ công ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là C(x) = 2x + 55 triệu đồng.
(a) Tìm hàm số f(x) biểu thị chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm.
(b) Tính

\underset{x \to + \infty}{l i m} f (x)

. Giới hạn này có ý nghĩa gì?

A

f (x) = \frac{2 x + 55}{x} = 2 + \frac{55}{x}

;

\underset{x \to + \infty}{l i m} f (x) = 2

. Ý nghĩa: khi số lượng sản phẩm sản xuất càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm càng gần 2 triệu đồng.

Bf(x) = 2x + 55;

\underset{x \to + \infty}{l i m} f (x) = + \infty

. Ý nghĩa: chi phí trung bình tăng vô hạn.

C

f (x) = \frac{x}{2 x + 55}

;

\underset{x \to + \infty}{l i m} f (x) = \frac{1}{2}

. Ý nghĩa: chi phí trung bình gần 0,5 triệu đồng.

D

f (x) = 2 + \frac{x}{55}

;

\underset{x \to + \infty}{l i m} f (x) = + \infty