Bài 13 Hai mặt phẳng song song
Lớp 11Toán Tập 112 câu hỏiBài tập
Phần 1
Câu 1
(Bài 4.29 trang 67 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d đôi một song song và không nằm trong mặt phẳng (ABCD).
(a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng mp(a, b) và mp(c, d) song song với nhau.
(b) Chứng minh rằng hai mặt phẳng mp(a, d) và mp(b, c) song song với nhau.
(c) Một mặt phẳng cắt bốn đường thẳng a, b, c, d lần lượt tại A', B', C', D'. Chứng minh rằng tứ giác A'B'C'D' là hình bình hành.
Chọn lập luận đúng.
(a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng mp(a, b) và mp(c, d) song song với nhau.
(b) Chứng minh rằng hai mặt phẳng mp(a, d) và mp(b, c) song song với nhau.
(c) Một mặt phẳng cắt bốn đường thẳng a, b, c, d lần lượt tại A', B', C', D'. Chứng minh rằng tứ giác A'B'C'D' là hình bình hành.
Chọn lập luận đúng.
AVì a // d nên a // mp(c, d); vì AB // CD nên AB // mp(c, d). Mặt phẳng mp(a, b) chứa hai đường thẳng cắt nhau a và AB cùng song song với mp(c, d), suy ra mp(a, b) // mp(c, d). Tương tự, mp(a, d) // mp(b, c). Do các mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thì các giao tuyến song song, suy ra A'B' // C'D' và A'D' // B'C', nên A'B'C'D' là hình bình hành.
BVì a, b, c, d đôi một song song nên bốn điểm A', B', C', D' luôn thẳng hàng.
CVì ABCD là hình bình hành nên mọi mặt phẳng đi qua các đường thẳng a, b, c, d đều trùng nhau.
DVì a // b // c // d nên mp(a, b) cắt mp(c, d), còn mp(a, d) cắt mp(b, c).
Câu 2
(Bài 4.30 trang 67 SBT Toán 11 Tập 1) Cho tứ diện ABCD và một điểm O nằm trong tam giác BCD. Gọi (P) là mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng (ABD).
(a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (BCD).
(b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) và các mặt còn lại của tứ diện.
(a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (BCD).
(b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) và các mặt còn lại của tứ diện.
ATrong mặt phẳng (BCD), vẽ đường thẳng qua O và song song với BD, cắt BC, CD lần lượt tại E, F. Khi đó EF là giao tuyến của (P) và (BCD). Trong mặt phẳng (ABC), vẽ EG // AB với G ∈ AC, khi đó EG là giao tuyến của (P) và (ABC); FG là giao tuyến của (P) và (ACD).
BTrong mặt phẳng (BCD), vẽ đường thẳng qua O song song với BC, cắt BD tại E. Khi đó OE là giao tuyến của (P) và (BCD); các giao tuyến còn lại là AB và AD.
CGiao tuyến của (P) và (BCD) là BD; giao tuyến của (P) và (ABC) là AB; giao tuyến của (P) và (ACD) là AD.
DVì (P) // (ABD) nên (P) không cắt bất kì mặt nào của tứ diện.
Câu 3
(Bài 4.31 trang 67 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E là một điểm bất kì thuộc cạnh SA và (P) là mặt phẳng qua E song song với mặt phẳng (ABCD).
(a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) và các mặt bên của hình chóp.
(b) Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì? Giải thích vì sao.
(a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) và các mặt bên của hình chóp.
(b) Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì? Giải thích vì sao.
ATrong (SAB), vẽ EF // AB với F ∈ SB; trong (SBC), vẽ FG // BC với G ∈ SC; trong (SCD), vẽ GH // CD với H ∈ SD. Các giao tuyến là EF, FG, GH, HE. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình bình hành EFGH.
BCác giao tuyến là SA, SB, SC, SD. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình thang.
CCác giao tuyến là AB, BC, CD, DA. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình bình hành ABCD.
DCác giao tuyến là EF, EG, EH, FG. Hình tạo bởi các giao tuyến là tam giác.
Câu 4
(Bài 4.32 trang 67 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thang. Chứng minh rằng đáy A'B'C'D' là hình thang.
AGiả sử AB // CD. Vì ABB'A' và CDD'C' là các mặt bên của hình lăng trụ nên AB // A'B' và CD // C'D'. Do đó A'B' // C'D', suy ra A'B'C'D' là hình thang.
BVì ABCD là hình thang nên A'B'C'D' là hình bình hành.
CVì các cạnh bên của lăng trụ song song nên A'B' // B'C', suy ra A'B'C'D' là hình thang.
DVì ABCD là hình thang nên A'C' // B'D', suy ra A'B'C'D' là hình thang.
Câu 5
(Bài 4.33 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh rằng sáu điểm A, B, C, D, E, F là sáu đỉnh của một hình lăng trụ tam giác.
AVì ABCD là hình bình hành nên AB // CD; vì ABEF là hình bình hành nên AB // EF. Do đó AB, CD, EF đôi một song song. Hai mặt phẳng (ADF) và (BCE) song song với nhau, nên ADF.BCE là hình lăng trụ tam giác.
BVì ABCD và ABEF là hai hình bình hành nên sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng nằm trong một mặt phẳng.
CVì AB // CD và AB // EF nên C, D, E, F thẳng hàng, suy ra có hình lăng trụ tam giác.
DVì ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng nên không thể tạo thành hình lăng trụ.
Câu 6
(Bài 4.34 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AD, BC, B'C', A'D' lần lượt tại E, F, G, H. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình bình hành.
ATa có (ABCD) ∩ (P) = EF và (A'B'C'D') ∩ (P) = HG. Vì (ABCD) // (A'B'C'D') nên EF // HG. Tương tự, EH // FG. Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành.
BVì E, F, G, H nằm trên bốn cạnh của hình hộp nên EFGH luôn là hình chữ nhật.
CVì E, F, G, H cùng nằm trên mặt phẳng (P) nên EFGH là hình bình hành.
DVì AD // BC nên EF // GH, nhưng EH và FG không song song.
Câu 7
(Bài 4.35 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
(a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (ADC'B') và (A'D'CB).
(b) Chứng minh rằng d // AD.
(c) Chứng minh rằng d đi qua trung điểm của các đường chéo của hình hộp.
(a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (ADC'B') và (A'D'CB).
(b) Chứng minh rằng d // AD.
(c) Chứng minh rằng d đi qua trung điểm của các đường chéo của hình hộp.
AGọi E = AB' ∩ A'B, F = CD' ∩ C'D. Khi đó E, F cùng thuộc hai mặt phẳng (ADC'B') và (A'D'CB), nên d = EF. Hai mặt phẳng này chứa hai đường thẳng song song AD và BC nên EF // AD. Đồng thời E, F là giao điểm các đường chéo của các hình bình hành ABB'A' và CDD'C', nên EF đi qua trung điểm của các đường chéo hình hộp.
BGọi E = AB ∩ CD, F = A'B' ∩ C'D'. Khi đó d = EF và d // AC.
CGiao tuyến d là AD, nên d đi qua trung điểm các đường chéo của hình hộp.
DGiao tuyến d là BC, nên d // AD và đi qua trung điểm của AC'.
Câu 8
(Bài 4.36 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:
(a) AB' // C'D;
(b) Hai mặt phẳng (AB'D') và (C'BD) song song với nhau.
Chọn lập luận đúng.
(a) AB' // C'D;
(b) Hai mặt phẳng (AB'D') và (C'BD) song song với nhau.
Chọn lập luận đúng.
ATheo kết quả bài 4.35, tứ giác ADC'B' là hình bình hành, do đó AB' // C'D. Tương tự AD' // BC'. Vì AB' và AD' là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (AB'D') và cùng song song với mặt phẳng (C'BD), suy ra (AB'D') // (C'BD).
BVì AB // C'D nên AB' // C'D. Vì hai mặt phẳng (AB'D') và (C'BD) có điểm chung nên chúng song song.
CVì hình hộp có các mặt là hình bình hành nên AB' // BD và AD' // C'D, suy ra hai mặt phẳng song song.
DVì AB' cắt C'D nên hai mặt phẳng (AB'D') và (C'BD) song song.
Câu 9
(Bài 4.37 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1) Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song. Hai đường thẳng d, d' cắt ba mặt phẳng lần lượt tại A, B, C và A', B', C'. Biết rằng AB = 2 cm, BC = 6 cm và A'B' = 3 cm. Tính B'C'.
AB'C' = 9 cm
BB'C' = 4 cm
CB'C' = 6 cm
DB'C' = 12 cm
Câu 10
(Bài 4.38 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi O là giao điểm của các đường chéo của hình hộp. Mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh AA', BB', CC', DD' lần lượt tại M, N, P, Q.
(a) Chứng minh rằng M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', BB', CC', DD'.
(b) Chứng minh rằng ABCD.MNPQ là hình hộp.
(a) Chứng minh rằng M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', BB', CC', DD'.
(b) Chứng minh rằng ABCD.MNPQ là hình hộp.
AVì mặt phẳng qua O song song với (ABCD) và (A'B'C'D') nên theo định lí Thales trong không gian, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AA', BB', CC', DD'. Khi đó MN // AB, PQ // CD, MN = AB, PQ = CD nên MNPQ là hình bình hành. Lại có AM, BN, CP, DQ đôi một song song và (ABCD) // (MNPQ), suy ra ABCD.MNPQ là hình hộp.
BVì O là giao điểm các đường chéo nên M, N, P, Q đều trùng với O, suy ra ABCD.MNPQ là hình hộp.
CVì M, N, P, Q lần lượt nằm trên AA', BB', CC', DD' nên chúng luôn là các đỉnh của hình hộp, không cần chứng minh là trung điểm.
DVì (MNPQ) // (ABCD) nên MNPQ là hình thoi, do đó ABCD.MNPQ là hình hộp.
Câu 11
(Bài 4.39 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1) Khi cắt một chiếc bánh ga-tô hình hộp, Thuỷ nhận thấy vết cắt ở mặt trên và mặt dưới của bánh gợi nên hình ảnh về hai đường thẳng song song với nhau. Hỏi nhận xét của Thuỷ có đúng không? Vì sao?
ANhận xét của Thuỷ đúng. Khi cắt bánh, lưỡi dao tạo thành một mặt phẳng cắt hai mặt trên và mặt dưới của chiếc bánh. Vì hai mặt này song song với nhau nên các giao tuyến của mặt phẳng cắt với hai mặt đó song song với nhau.
BNhận xét của Thuỷ sai, vì hai vết cắt ở hai mặt bất kì của hình hộp luôn cắt nhau.
CNhận xét của Thuỷ đúng, vì mọi đường thẳng trên mặt bánh đều song song với nhau.
DKhông thể kết luận, vì còn phụ thuộc vào độ dày của chiếc bánh.
Câu 12
(Bài 4.40 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1) Một chiếc bình nước hình trụ được đặt trên bàn, lượng nước trong bình bằng đúng một nửa dung tích của bình. Hoàng đặt một chiếc ống hút vào trong bình sao cho một đầu của ống hút chạm vào đáy bình còn một đầu chạm vào miệng bình. Hoàng nói rằng độ dài của phần ống hút bị ướt bằng
độ dài của toàn bộ ống hút. Hỏi Hoàng nói đúng hay sai? Vì sao?
AHoàng nói sai. Theo định lí Thales trong không gian, vì lượng nước trong bình bằng đúng một nửa dung tích của bình nên độ dài phần ống hút bị ướt bằng
độ dài toàn bộ ống hút.
BHoàng nói đúng, vì lượng nước bằng một nửa dung tích nên phần ống hút bị ướt luôn bằng
độ dài ống hút.
CHoàng nói sai, vì phần ống hút bị ướt bằng toàn bộ độ dài ống hút.
DKhông thể kết luận, vì phần ống hút bị ướt không phụ thuộc vào lượng nước trong bình.