Bài 1 Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Câu 1

(Bài 1.1 trang 8 SBT Toán 12 Tập 1) Cho hàm số f(x) xác định trên ℝ và đạo hàm f'(x) có đồ thị như hình bên. Sử dụng đồ thị hàm số y = f'(x), hãy cho biết các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số f(x) và các điểm cực trị tương ứng.

AHàm số f(x) nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0) và (4; +∞), đồng biến trên khoảng (0; 4); hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = 4.

BHàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (4; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 4); hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 4.

CHàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-∞; 4), đồng biến trên khoảng (4; +∞); hàm số chỉ đạt cực tiểu tại x = 4.

DHàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-∞; 0), nghịch biến trên khoảng (0; +∞); hàm số chỉ đạt cực đại tại x = 0.

Câu 2

(Bài 1.2 trang 9 SBT Toán 12 Tập 1) Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của các hàm số:
(a) y = x³ - 9x² - 48x + 52;
(b) y = -x³ + 6x² + 9.

A(a) Đồng biến trên (-∞; -2) và (8; +∞), nghịch biến trên (-2; 8), cực đại tại x = -2 với yCĐ = 104, cực tiểu tại x = 8 với yCT = -396. (b) Đồng biến trên (0; 4), nghịch biến trên (-∞; 0) và (4; +∞), cực đại tại x = 4 với yCĐ = 41, cực tiểu tại x = 0 với yCT = 9.

B(a) Đồng biến trên (-2; 8), nghịch biến trên (-∞; -2) và (8; +∞), cực tiểu tại x = -2, cực đại tại x = 8. (b) Đồng biến trên (-∞; 0) và (4; +∞), nghịch biến trên (0; 4), cực đại tại x = 0, cực tiểu tại x = 4.

C(a) Đồng biến trên (-∞; 8), nghịch biến trên (8; +∞), cực đại tại x = 8. (b) Đồng biến trên (-∞; 4), nghịch biến trên (4; +∞), cực đại tại x = 4.

D(a) Hàm số đồng biến trên ℝ và không có cực trị. (b) Hàm số nghịch biến trên ℝ và không có cực trị.

Câu 3

(Bài 1.3 trang 9 SBT Toán 12 Tập 1) Xét tính đơn điệu và tìm các cực trị của các hàm số:
(a)

y = x + \frac{1}{x}

;
(b)

y = \frac{x}{x^{2} + 1}

.

A(a) Đồng biến trên (-∞; -1) và (1; +∞), nghịch biến trên (-1; 0) và (0; 1), cực đại tại x = -1 với yCĐ = -2, cực tiểu tại x = 1 với yCT = 2. (b) Đồng biến trên (-1; 1), nghịch biến trên (-∞; -1) và (1; +∞), cực đại tại x = 1 với yCĐ =

\frac{1}{2}

, cực tiểu tại x = -1 với yCT =

- \frac{1}{2}

.

B(a) Nghịch biến trên (-∞; -1) và (1; +∞), đồng biến trên (-1; 0) và (0; 1), cực tiểu tại x = -1, cực đại tại x = 1. (b) Đồng biến trên (-∞; -1) và (1; +∞), nghịch biến trên (-1; 1).

C(a) Đồng biến trên ℝ và không có cực trị. (b) Nghịch biến trên ℝ và không có cực trị.

D(a) Đồng biến trên (-∞; 0), nghịch biến trên (0; +∞). (b) Đồng biến trên (-∞; 1), nghịch biến trên (1; +∞).

Câu 4

(Bài 1.4 trang 9 SBT Toán 12 Tập 1) Tìm các khoảng đơn điệu và các cực trị của các hàm số:
(a) y = x⁴ - 2x² + 3;
(b) y = x²lnx.

A(a) Nghịch biến trên (-∞; -1) và (0; 1), đồng biến trên (-1; 0) và (1; +∞), cực đại tại x = 0 với yCĐ = 3, cực tiểu tại x = -1 và x = 1 với yCT = 2. (b) Nghịch biến trên

(0; e^{- \frac{1}{2}})

, đồng biến trên

(e^{- \frac{1}{2}}; + \infty)

, cực tiểu tại

x = e^{- \frac{1}{2}}

với

y_{C T} = - \frac{1}{2 e}

.

B(a) Đồng biến trên (-∞; -1) và (0; 1), nghịch biến trên (-1; 0) và (1; +∞), cực tiểu tại x = 0. (b) Đồng biến trên (0; +∞), không có cực trị.

C(a) Nghịch biến trên (-∞; 0), đồng biến trên (0; +∞), cực tiểu tại x = 0. (b) Nghịch biến trên (0; 1), đồng biến trên (1; +∞), cực tiểu tại x = 1.

D(a) Đồng biến trên ℝ, không có cực trị. (b) Nghịch biến trên (0; +∞), không có cực trị.

Câu 5

(Bài 1.5 trang 9 SBT Toán 12 Tập 1) Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số y = x³ + mx² + 3x + 2 đồng biến trên ℝ.

A-3 ≤ m ≤ 3

Bm < -3 hoặc m > 3

Cm ≥ 3

Dm ≤ -3

Câu 6

(Bài 1.6 trang 9 SBT Toán 12 Tập 1) Chứng minh rằng hàm số

f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}

không có đạo hàm tại x = 0 nhưng có cực tiểu tại điểm x = 0. Chọn lập luận đúng.

ATa có

\underset{x \to 0^{-}}{l i m} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = - \infty

và

\underset{x \to 0^{+}}{l i m} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = + \infty

, nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0. Mặt khác, với mọi x ≠ 0 thì f(x) > 0 = f(0), nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

BHàm số có đạo hàm tại x = 0 và f'(0) = 0, nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

CHàm số không xác định tại x = 0, nên không có đạo hàm và không có cực trị tại x = 0.

DVới mọi x ≠ 0 thì f(x) < f(0), nên hàm số đạt cực đại tại x = 0.

Câu 7

(Bài 1.7 trang 9 SBT Toán 12 Tập 1) Một nhà phân phối đồ chơi trẻ em xác định hàm chi phí C(x) và hàm doanh thu R(x), đều tính bằng trăm nghìn đồng, cho một loại đồ chơi như sau: C(x) = 1,2x - 0,0001x², R(x) = 3,6x - 0,0005x², với 0 ≤ x ≤ 6000. Trong đó x là số lượng đồ chơi được sản xuất và bán ra. Xác định khoảng của x để hàm lợi nhuận P(x) = R(x) - C(x) đồng biến trên khoảng đó và giải thích ý nghĩa thực tiễn.

AP(x) = 2,4x - 0,0004x²; hàm lợi nhuận đồng biến trên khoảng (0; 3000). Điều này nghĩa là khi số lượng đồ chơi được sản xuất và bán ra nằm trong khoảng từ 0 đến 3000 sản phẩm thì càng sản xuất và bán nhiều, lợi nhuận thu được càng lớn.

BP(x) = 2,4x - 0,0004x²; hàm lợi nhuận đồng biến trên khoảng (3000; 6000). Điều này nghĩa là càng sản xuất vượt 3000 sản phẩm thì lợi nhuận càng tăng.

CP(x) = 4,8x - 0,0006x²; hàm lợi nhuận đồng biến trên khoảng (0; 6000). Điều này nghĩa là lợi nhuận luôn tăng trên toàn bộ miền sản xuất.

DP(x) = 2,4x + 0,0004x²; hàm lợi nhuận đồng biến trên khoảng (0; +∞). Điều này nghĩa là sản xuất càng nhiều thì lợi nhuận luôn càng lớn.

Câu 8

(Bài 1.8 trang 9 SBT Toán 12 Tập 1) Hàm chi phí và hàm doanh thu, đều tính bằng triệu đồng, của một loại sản phẩm lần lượt là C(x) = 25,5x + 1000 và R(x) = 75,5x, trong đó x là số đơn vị sản phẩm được sản xuất và bán ra.
(a) Tính hàm lợi nhuận trung bình

\bar{P} (x) = \frac{R (x) - C (x)}{x}

.
(b) Tìm lợi nhuận trung bình khi x lần lượt là 100, 500 và 1000.
(c) Xét tính đơn điệu của hàm lợi nhuận trung bình trên khoảng (0; +∞) và tính giới hạn khi x → +∞. Giải thích ý nghĩa thực tiễn.

A(a)

\bar{P} (x) = 50 - \frac{1000}{x}

. (b)

\bar{P} (100) = 40

,

\bar{P} (500) = 48

,

\bar{P} (1000) = 49

triệu đồng. (c) Hàm đồng biến trên (0; +∞) và

\underset{x \to + \infty}{l i m} \bar{P} (x) = 50

. Ý nghĩa: lợi nhuận trung bình luôn tăng khi mức sản xuất tăng nhưng không vượt quá 50 triệu đồng.

B(a)

\bar{P} (x) = 50 + \frac{1000}{x}

. (b)

\bar{P} (100) = 60

,

\bar{P} (500) = 52

,

\bar{P} (1000) = 51

triệu đồng. (c) Hàm nghịch biến và có giới hạn bằng 50.

C(a)

\bar{P} (x) = 75, 5 x - 25, 5 x - 1000

. (b) Lợi nhuận trung bình lần lượt là 4000, 24000, 49000 triệu đồng. (c) Hàm đồng biến và tiến tới +∞.

D(a)

\bar{P} (x) = 50 x - 1000

. (b)

\bar{P} (100) = 4000

,

\bar{P} (500) = 24000

,

\bar{P} (1000) = 49000

triệu đồng. (c) Hàm đồng biến và không có giới hạn hữu hạn.

Câu 9

(Bài 1.9 trang 10 SBT Toán 12 Tập 1) Một con lắc lò xo gồm một vật nặng có khối lượng 1 kg được gắn vào một lò xo cố định một đầu, dao động điều hòa với biên độ A = 0,24 m và chu kì T = 4 giây. Vị trí x của vật tại thời điểm t được xác định bởi x(t) = A cos(ωt), trong đó

ω = \frac{2 π}{T}

và t tính bằng giây.
(a) Tìm vị trí của vật tại thời điểm t và tại t = 0,5 giây.
(b) Tìm vận tốc v của vật tại thời điểm t và tại t = 0,5 giây.
(c) Tìm gia tốc a của vật.
(d) Dùng F = ma, tìm độ lớn và hướng của lực tác dụng lên vật khi t = 0,5 giây.
(e) Tìm thời gian tối thiểu để vật chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí x = -0,12 m và tìm vận tốc của vật khi x = -0,12 m.

A(a)

x (t) = 0, 24 c o s \frac{π t}{2}

,

x (0, 5) = 0, 12 \sqrt{2}

m. (b)

v (t) = - 0, 12 π s i n \frac{π t}{2}

,

v (0, 5) = - 0, 06 π \sqrt{2}

m/s. (c)

a (t) = - 0, 06 π^{2} c o s \frac{π t}{2}

m/s². (d) Độ lớn lực là

0, 03 π^{2} \sqrt{2}

N, lực hướng ngược chiều dương. (e) Thời gian tối thiểu là

\frac{4}{3}

giây, vận tốc khi đó là

- 0, 06 π \sqrt{3}

m/s.

B(a)

x (t) = 0, 24 s i n \frac{π t}{2}

,

x (0, 5) = 0, 12 \sqrt{2}

m. (b)

v (t) = 0, 12 π c o s \frac{π t}{2}

. (c)

a (t) = - 0, 06 π^{2} s i n \frac{π t}{2}

. (d) Độ lớn lực là

0, 03 π \sqrt{2}

N. (e) Thời gian tối thiểu là

\frac{2}{3}

giây.

C(a)

x (t) = 0, 24 c o s 2 π t

,

x (0, 5) = - 0, 24

m. (b)

v (t) = - 0, 48 π s i n 2 π t

. (c)

a (t) = - 0, 96 π^{2} c o s 2 π t

. (d) Lực bằng 0. (e) Thời gian tối thiểu là

\frac{1}{3}

giây.

D(a)

x (t) = 0, 24 c o s \frac{π t}{4}

,

x (0, 5) = 0, 24 c o s \frac{π}{8}

m. (b)

v (t) = - 0, 06 π s i n \frac{π t}{4}

. (c)

a (t) = - 0, 015 π^{2} c o s \frac{π t}{4}

. (d) Lực hướng theo chiều dương. (e) Thời gian tối thiểu là 2 giây.

Câu 10

(Bài 1.10 trang 10 SBT Toán 12 Tập 1) Một vật chuyển động dọc theo trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Giả sử vị trí của vật x, tính bằng mét, từ thời điểm t = 0 giây đến t = 5 giây được cho bởi công thức x(t) = t³ - 7t² + 11t + 5.
(a) Xác định vận tốc v của vật. Xác định khoảng thời gian vật chuyển động sang phải và sang trái.
(b) Tìm tốc độ của vật và thời điểm vật dừng lại. Tính tốc độ cực đại của vật trong khoảng thời gian từ t = 1 giây đến t = 4 giây.
(c) Xác định gia tốc a của vật. Tìm khoảng thời gian vật tăng tốc và giảm tốc.

A(a) v(t) = 3t² - 14t + 11. Vật chuyển động sang phải trên các khoảng thời gian từ 0 đến 1 giây và từ

\frac{11}{3}

giây đến 5 giây; vật chuyển động sang trái từ 1 giây đến

\frac{11}{3}

giây. (b) Tốc độ là |v(t)| = |3t² - 14t + 11|; vật dừng lại tại t = 1 giây và t =

\frac{11}{3}

giây; tốc độ cực đại trên [1; 4] là

\frac{16}{3}

m/s. (c) a(t) = 6t - 14; vật tăng tốc từ

\frac{7}{3}

giây đến 5 giây và giảm tốc từ 0 đến

\frac{7}{3}

giây.

B(a) v(t) = t² - 14t + 11. Vật chuyển động sang phải trên (1;

\frac{11}{3}

). (b) Vật dừng lại tại t = 0 và t = 5. (c) a(t) = 2t - 14; vật luôn giảm tốc.

C(a) v(t) = 3t² - 7t + 11. Vật chuyển động sang phải trên toàn bộ [0; 5]. (b) Vật không dừng lại. (c) a(t) = 6t - 7; vật tăng tốc trên toàn bộ [0; 5].

D(a) v(t) = 3t² - 14t + 11. Vật chuyển động sang trái trên (0; 1) và (

\frac{11}{3}

; 5), sang phải trên (1;

\frac{11}{3}

). (b) Tốc độ cực đại trên [1; 4] là 5 m/s. (c) a(t) = 3t - 14; vật tăng tốc từ 1 đến 4 giây.

Bài 1 Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Phần 1

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

Câu 6

Câu 7

Câu 8

Câu 9

Câu 10