Bài 7 Hệ trục toạ độ trong không gian

Câu 1

(Bài 2.16 trang 48 SBT Toán 12 Tập 1) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Có thể lập hệ tọa độ Oxyz thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây hay không? Giải thích vì sao.
(a) Gốc O trùng với đỉnh A, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt phẳng (A'B'C'D').
(b) Mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (Oyz) trùng với mặt phẳng (ABC'D').
(c) Mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt phẳng (ABCD), trục Oz trùng với đường thẳng CC'.

A(a) Không, vì điểm A không nằm trong mặt phẳng (A'B'C'D'). (b) Không, vì hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC'D') không vuông góc với nhau, trong khi (Oxy) và (Oyz) vuông góc với nhau. (c) Có thể chọn hệ trục Oxyz với gốc O trùng với C, các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia CB, CD, CC'.

B(a) Có thể. (b) Có thể. (c) Không thể, vì Oz không thể trùng với CC'.

C(a) Không, vì A không nằm trong (A'B'C'D'). (b) Có thể. (c) Không thể.

D(a) Có thể chọn O trùng A. (b) Không thể. (c) Không thể, vì mặt phẳng (Oxy) không thể trùng với (ABCD).

Câu 2

(Bài 2.17 trang 49 SBT Toán 12 Tập 1) Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ của điểm A trong mỗi trường hợp sau:
(a) A nằm trên tia Oy và OA = 3;
(b) A nằm trên tia đối của tia Oz và OA = 5;
(c) A nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng (Oxy), khoảng cách từ A đến Ox và Oy lần lượt là 5 và 8.

A(a) A(0; 3; 0); (b) A(0; 0; -5); (c) A(8; 5; 0).

B(a) A(3; 0; 0); (b) A(0; 0; 5); (c) A(5; 8; 0).

C(a) A(0; 3; 0); (b) A(0; 0; 5); (c) A(8; 5; 0).

D(a) A(0; -3; 0); (b) A(0; 0; -5); (c) A(5; 8; 0).

Câu 3

(Bài 2.18 trang 49 SBT Toán 12 Tập 1) Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ của vectơ

\vec{A B}

trong mỗi trường hợp sau:
(a)

\vec{A B} = \vec{0}

;
(b)

\vec{A B} = - 2 \vec{k}

;
(c)

\vec{A B} = 3 \vec{i} - 5 \vec{j} + \vec{k}

.

A(a)

\vec{A B} = (0; 0; 0)

; (b)

\vec{A B} = (0; 0; - 2)

; (c)

\vec{A B} = (3; - 5; 1)

.

B(a)

\vec{A B} = (1; 1; 1)

; (b)

\vec{A B} = (0; 0; 2)

; (c)

\vec{A B} = (- 3; 5; - 1)

.

C(a)

\vec{A B} = (0; 0; 0)

; (b)

\vec{A B} = (- 2; 0; 0)

; (c)

\vec{A B} = (3; 5; 1)

.

D(a)

\vec{A B} = (0; 0; 0)

; (b)

\vec{A B} = (0; - 2; 0)

; (c)

\vec{A B} = (- 3; - 5; 1)

.

Câu 4

(Bài 2.19 trang 49 SBT Toán 12 Tập 1) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(4; 5; -1), B(2; 5; -1), C(0; 0; 3).
(a) Tìm tọa độ của vectơ

\vec{A B}

, từ đó suy ra đường thẳng AB song song với trục Ox.
(b) Biểu thị vectơ

\vec{O C}

qua các vectơ đơn vị

\vec{i}

,

\vec{j}

,

\vec{k}

, từ đó suy ra điểm C thuộc tia Oz.

A(a)

\vec{A B} = (- 2; 0; 0) = - 2 \vec{i}

, suy ra AB song song với trục Ox. (b)

\vec{O C} = 3 \vec{k}

, suy ra C thuộc tia Oz.

B(a)

\vec{A B} = (2; 0; 0) = 2 \vec{i}

, suy ra AB song song với trục Ox. (b)

\vec{O C} = - 3 \vec{k}

, suy ra C thuộc tia đối của tia Oz.

C(a)

\vec{A B} = (- 2; 5; - 1)

, suy ra AB không song song với trục Ox. (b)

\vec{O C} = (0; 0; 3)

nhưng C không thuộc tia Oz.

D(a)

\vec{A B} = (0; 0; - 2)

, suy ra AB song song với trục Oz. (b)

\vec{O C} = 3 \vec{i}

, suy ra C thuộc tia Ox.

Câu 5

(Bài 2.20 trang 49 SBT Toán 12 Tập 1) Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác OAB.O'A'B' có A(1; 1; 7), B(2; 4; 7) và điểm O' thuộc tia Ox sao cho OO' = 3.
(a) Tìm tọa độ của vectơ

\vec{O O^{'}}

.
(b) Tìm tọa độ của các điểm O', A' và B'.
; 4; 10).

A(a)

\vec{O O^{'}} = (3; 0; 0)

. (b) O'(3; 0; 0), A'(4; 1; 7), B'(5; 4; 7).

B(a)

\vec{O O^{'}} = (0; 3; 0)

. (b) O'(0; 3; 0), A'(1; 4; 7), B'(2; 7; 7).

C(a)

\vec{O O^{'}} = (0; 0; 3)

. (b) O'(0; 0; 3), A'(1; 1; 10), B'(2

D(a)

\vec{O O^{'}} = (- 3; 0; 0)

. (b) O'(-3; 0; 0), A'(-2; 1; 7), B'(-1; 4; 7).

Câu 6

(Bài 2.21 trang 49 SBT Toán 12 Tập 1) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng 5 và độ dài cạnh đáy bằng 4. Hãy xác định tọa độ của các điểm S, A, B, C, D đối với hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với tâm của hình vuông ABCD, tia Ox chứa B, tia Oy chứa C và tia Oz chứa S.

AS(0; 0; 5), B(2√2; 0; 0), C(0; 2√2; 0), A(0; -2√2; 0), D(-2√2; 0; 0).

BS(0; 0; 5), A(2√2; 0; 0), B(0; 2√2; 0), C(-2√2; 0; 0), D(0; -2√2; 0).

CS(0; 0; 4), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A(0; -2; 0), D(-2; 0; 0).

DS(0; 0; 5), B(4; 0; 0), C(0; 4; 0), A(0; -4; 0), D(-4; 0; 0).

Câu 7

(Bài 2.22 trang 49 SBT Toán 12 Tập 1) Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D, B, A' có tọa độ lần lượt là (3; 0; 0), (0; -1; 0), (0; 0; -2). Xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

AC(3; -1; 0), B'(0; -1; -2), C'(3; -1; -2), D'(3; 0; -2).

BC(3; 1; 0), B'(0; -1; 2), C'(3; -1; 2), D'(3; 0; 2).

CC(0; -1; -2), B'(3; -1; 0), C'(3; 0; -2), D'(0; 0; -2).

DC(3; -1; 0), B'(0; 1; -2), C'(3; 1; -2), D'(3; 0; 2).

Câu 8

(Bài 2.23 trang 49 SBT Toán 12 Tập 1) Ở mỗi góc sân bóng đá thường được cắm một cột cờ vuông góc với mặt sân như hình bên.

(a) Có thể thiết lập một hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O là chân cột cờ, hai trục Ox, Oy lần lượt trùng với hai vạch kẻ sơn và tia Oz trùng với cột cờ hay không? Giải thích vì sao.
(b) Giả sử cột cờ có chiều cao 1,5 m. Hãy xác định tọa độ của điểm đầu cột cờ đối với hệ tọa độ ở câu a, đơn vị đo trong không gian lấy theo mét.

A(a) Có thể, vì hai vạch kẻ sơn ở góc sân vuông góc với nhau và cột cờ vuông góc với mặt sân nên ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. (b) Điểm đầu cột cờ có tọa độ (0; 0; 1,5). (*)

B(a) Không thể, vì hai vạch kẻ sơn nằm trên cùng mặt sân. (b) Điểm đầu cột cờ có tọa độ (1,5; 0; 0).

C(a) Có thể, vì cột cờ song song với mặt sân. (b) Điểm đầu cột cờ có tọa độ (0; 1,5; 0).

D(a) Không thể, vì cột cờ vuông góc với mặt sân. (b) Điểm đầu cột cờ có tọa độ (1,5; 1,5; 0).

Câu 9

(Bài 2.24 trang 49 SBT Toán 12 Tập 1) Trong không gian xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo được lấy theo kilômét. Tại giàn khoan người ta đặt một chiếc radar để theo dõi hành trình của một chiếc tàu ngầm hoạt động trong khu vực gần giàn khoan.

(a) Hãy giải thích vì sao tọa độ của tàu ngầm luôn có dạng (x; y; z) với z ≤ 0.
(b) Khi nào thì tọa độ của chiếc tàu ngầm là (x; y; 0)?

A(a) Vì tàu ngầm hoạt động ở dưới mặt biển hoặc ngay trên mặt biển, trong khi trục Oz hướng thẳng đứng lên trời nên cao độ của tàu ngầm không dương, tức là z ≤ 0. (b) Tọa độ của tàu ngầm là (x; y; 0) khi tàu ngầm nằm trên mặt biển. (*)

B(a) Vì tàu ngầm luôn ở phía tây giàn khoan nên z ≤ 0. (b) Tọa độ của tàu ngầm là (x; y; 0) khi tàu ngầm nằm dưới đáy biển.

C(a) Vì trục Oy hướng về phía nam nên z ≤ 0. (b) Tọa độ của tàu ngầm là (x; y; 0) khi tàu ngầm ở phía nam giàn khoan.

D(a) Vì tàu ngầm luôn ở trên mặt biển nên z ≤ 0. (b) Tọa độ của tàu ngầm là (x; y; 0) khi tàu ngầm ở phía tây giàn khoan.

Bài 7 Hệ trục toạ độ trong không gian

Phần 1

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

Câu 6

Câu 7

Câu 8

Câu 9