Bài 17 Phương trình mặt cầu

Câu 1

(Bài 5.21 trang 34 SBT Toán 12 Tập 2) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(2; 1; 3).
(a) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
(b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0; 0) và mặt cầu (S) đi qua A.

A(a) (x - 2)² + (y - 1)² + (z - 2)² = 1; (b) x² + y² + z² = 6

B(a) (x - 2)² + (y - 1)² + (z - 2)² = 4; (b) x² + y² + z² = 6

C(a) (x - 2)² + (y - 1)² + (z - 2)² = 1; (b) x² + y² + z² = 3

D(a) (x - 2)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 1; (b) x² + y² + z² = 6

Câu 2

(Bài 5.22 trang 34 SBT Toán 12 Tập 2) Trong không gian Oxyz, cho điểm I(2; -1; 2) và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z - 10 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

A(x - 2)² + (y + 1)² + (z - 2)² = 4

B(x - 2)² + (y + 1)² + (z - 2)² = 2

C(x + 2)² + (y - 1)² + (z + 2)² = 4

D(x - 2)² + (y + 1)² + (z - 2)² = 9

Câu 3

(Bài 5.23 trang 34 SBT Toán 12 Tập 2) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)² + y² + (z + 2)² = 9 và điểm A(2; 2; -1).
(a) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
(b) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S).

ATâm I(1; 0; -2), bán kính R = 3; IA = √6 < 3 nên A nằm trong mặt cầu (S)

BTâm I(-1; 0; 2), bán kính R = 3; IA = √6 < 3 nên A nằm trong mặt cầu (S)

CTâm I(1; 0; -2), bán kính R = 9; IA = √6 < 9 nên A nằm trong mặt cầu (S)

DTâm I(1; 0; -2), bán kính R = 3; IA = √10 > 3 nên A nằm ngoài mặt cầu (S)

Câu 4

(Bài 5.24 trang 34 SBT Toán 12 Tập 2) Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
(a) x² + y² + z² + 2x - 4z + 2 = 0.
(b) x² + y² + z² - 2x + 2y + 2z + 7 = 0.
(c) 3x² + 3y² + 3z² + 12x - 6y + 6z + 2 = 0.

A(a) là mặt cầu tâm I(-1; 0; 2), bán kính R = √3; (b) không phải là phương trình mặt cầu; (c) là mặt cầu tâm I(-2; 1; -1), bán kính

R = \frac{4 \sqrt{3}}{3}

B(a) không phải là phương trình mặt cầu; (b) là mặt cầu tâm I(1; -1; -1), bán kính R = 2; (c) là mặt cầu tâm I(-2; 1; -1), bán kính

R = \frac{4 \sqrt{3}}{3}

C(a) là mặt cầu tâm I(1; 0; -2), bán kính R = √3; (b) không phải là phương trình mặt cầu; (c) không phải là phương trình mặt cầu

DCả ba phương trình đều là phương trình của mặt cầu

Câu 5

(Bài 5.25 trang 34 SBT Toán 12 Tập 2) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 1) và B(-1; -2; 3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc trục Ox và (S) đi qua hai điểm A và B.

A(x + 2)² + y² + z² = 14

B(x - 2)² + y² + z² = 14

C(x + 2)² + y² + z² = 6

D(x - 1)² + (y - 2)² + (z - 1)² = 14

Câu 6

(Bài 5.26 trang 34 SBT Toán 12 Tập 2) Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình x² + y² + z² = 1. Từ vị trí

A (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{\sqrt{2}})

, người ta dự định đào một hầm xuyên qua lòng đất theo hướng vectơ v = (2; 2; -3). Tính độ dài đường hầm cần đào.

A

\frac{3 \sqrt{2} - 2}{\sqrt{17}}

B

\frac{3 \sqrt{2} + 2}{\sqrt{17}}

C

\frac{3 \sqrt{2} - 2}{17}

D

\frac{2}{\sqrt{17}}

Câu 7

(Bài 5.27 trang 35 SBT Toán 12 Tập 2) Một quả bóng hình cầu có bán kính 2 m được treo lơ lửng trên một mặt đất phẳng. Tâm quả bóng cách mặt đất 10 m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O là hình chiếu vuông góc của tâm quả cầu trên mặt đất, tia Oz chứa tâm của quả cầu, các trục Ox, Oy thuộc mặt đất như hình vẽ. Viết phương trình của mặt cầu bề mặt quả bóng.

Ax² + y² + (z - 10)² = 4

Bx² + y² + (z - 2)² = 100

Cx² + y² + (z - 10)² = 2

Dx² + y² + z² = 4

Câu 8

(Bài 5.28 trang 35 SBT Toán 12 Tập 2) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; -3) và nhận vectơ n = (2; 1; 1) làm vectơ pháp tuyến là

A2x + y + z + 1 = 0

B2x + y + z - 1 = 0

Cx - 3z + 1 = 0

Dx + 3z + 1 = 0

Câu 9

(Bài 5.29 trang 35 SBT Toán 12 Tập 2) Trong không gian Oxyz, một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình

{\begin{array}{c} x = 1 + 2 t \\ y = 3 - 2 t \\ z = - 2 + t \end{array}

là

Au = (2; -2; 1)

Bu = (1; 3; -2)

Cu = (2; -2; 0)

Du = (2; 2; 1)

Câu 10

(Bài 5.30 trang 35 SBT Toán 12 Tập 2) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 3y - z - 1 = 0 và điểm A(1; 2; -1). Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) là

A

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{- 1}

B

\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 1}{- 1}

C

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 1}

D

\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{- 1}