Bài 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Câu 1

(Bài 1.31 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
(a) y = x³ - 6x² + 9x;
(b) y = x³ + 3x² + 6x + 4.
Chọn kết quả đúng.

A(a) Hàm số đồng biến trên (-∞; 1) và (3; +∞), nghịch biến trên (1; 3), đạt cực đại tại x = 1 với yCĐ = 4, đạt cực tiểu tại x = 3 với yCT = 0. (b) Hàm số đồng biến trên ℝ và không có cực trị.

B(a) Hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và (3; +∞), đồng biến trên (1; 3), đạt cực tiểu tại x = 1, đạt cực đại tại x = 3. (b) Hàm số nghịch biến trên ℝ và không có cực trị.

C(a) Hàm số đồng biến trên (-∞; 3), nghịch biến trên (3; +∞), đạt cực đại tại x = 3. (b) Hàm số đồng biến trên (-∞; -1), nghịch biến trên (-1; +∞).

D(a) Hàm số đồng biến trên ℝ và không có cực trị. (b) Hàm số có cực đại tại x = -1 và cực tiểu tại x = 1.

Câu 2

(Bài 1.32 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
(a)

y = \frac{3 x + 5}{x + 2}

;
(b)

y = \frac{2 x - 1}{x - 1}

.
Chọn kết quả đúng.

A(a) Tập xác định D = ℝ \ {-2}; hàm số đồng biến trên (-∞; -2) và (-2; +∞); tiệm cận đứng x = -2, tiệm cận ngang y = 3. (b) Tập xác định D = ℝ \ {1}; hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞); tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 2.

B(a) Hàm số nghịch biến trên (-∞; -2) và (-2; +∞); tiệm cận đứng x = -2, tiệm cận ngang y = 3. (b) Hàm số đồng biến trên (-∞; 1) và (1; +∞); tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 2.

C(a) Tập xác định D = ℝ \ {2}; hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞); tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận ngang y = 3. (b) Tập xác định D = ℝ \ {-1}; tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 2.

D(a) Hàm số đồng biến trên ℝ và không có tiệm cận. (b) Hàm số nghịch biến trên ℝ và không có tiệm cận.

Câu 3

(Bài 1.33 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
(a)

y = \frac{x^{2} - 4 x + 8}{x - 2}

;
(b)

y = \frac{2 x^{2} + 3 x - 5}{x + 1}

.
Chọn kết quả đúng.

A(a) Tập xác định D = ℝ \ {2}; hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (4; +∞), nghịch biến trên (0; 2) và (2; 4), đạt cực đại tại x = 0 với yCĐ = -4, đạt cực tiểu tại x = 4 với yCT = 4; tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x - 2. (b) Tập xác định D = ℝ \ {-1}; hàm số đồng biến trên (-∞; -1) và (-1; +∞), không có cực trị; tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận xiên y = 2x + 1.

B(a) Hàm số nghịch biến trên (-∞; 0) và (4; +∞), đồng biến trên (0; 2) và (2; 4), tiệm cận xiên y = x + 2. (b) Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1) và (-1; +∞), có cực trị tại x = -1.

C(a) Tập xác định D = ℝ \ {-2}; tiệm cận đứng x = -2, tiệm cận xiên y = x - 2. (b) Tập xác định D = ℝ \ {1}; tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận xiên y = 2x + 1.

D(a) Hàm số đồng biến trên ℝ, không có cực trị. (b) Hàm số nghịch biến trên ℝ, không có cực trị.

Câu 4

(Bài 1.34 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1) Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) xác định trên ℝ và f'(x) có đồ thị như hình vẽ sau. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số y = f(x).

AHàm số f(x) đồng biến trên (-∞; -1) và (2; +∞), nghịch biến trên (-1; 2); hàm số đạt cực đại tại x = -1 và đạt cực tiểu tại x = 2.

BHàm số f(x) nghịch biến trên (-∞; -1) và (2; +∞), đồng biến trên (-1; 2); hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và đạt cực đại tại x = 2.

CHàm số f(x) đồng biến trên (-∞; 2), nghịch biến trên (2; +∞); hàm số chỉ đạt cực đại tại x = 2.

DHàm số f(x) nghịch biến trên (-∞; -1), đồng biến trên (-1; +∞); hàm số chỉ đạt cực tiểu tại x = -1.

Câu 5

(Bài 1.35 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1) Gia tốc a(t) của một vật chuyển động, t tính theo giây, từ giây thứ nhất đến giây thứ 5 là một hàm liên tục có đồ thị như hình sau.

(a) Lập bảng biến thiên của hàm vận tốc y = v(t) của vật, với t ∈ [1; 5].
(b) Tại thời điểm nào vật chuyển động với vận tốc lớn nhất?

AVì a(t) = v'(t), từ đồ thị ta thấy v(t) tăng trên [1; 3] và giảm trên [3; 5]. Do đó vật chuyển động với vận tốc lớn nhất tại t = 3 giây.

BVì a(t) = v'(t), từ đồ thị ta thấy v(t) giảm trên [1; 3] và tăng trên [3; 5]. Do đó vật chuyển động với vận tốc lớn nhất tại t = 1 giây.

CVận tốc v(t) luôn tăng trên [1; 5], nên vật chuyển động với vận tốc lớn nhất tại t = 5 giây.

DVận tốc v(t) luôn giảm trên [1; 5], nên vật chuyển động với vận tốc lớn nhất tại t = 1 giây.

Câu 6

(Bài 1.36 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1) Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích 300 cm², lề trái và lề phải là 2 cm, lề trên và lề dưới là 3 cm. Gọi x (cm) là chiều rộng của tờ giấy.
(a) Tính diện tích của tờ giấy theo x.
(b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là S(x). Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = S(x).
(c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.

AVới x > 4, diện tích tờ giấy là

S (x) = \frac{x (6 x + 276)}{x - 4}

. Hàm số S(x) nghịch biến trên (4; 4 + 10√2), đồng biến trên (4 + 10√2; +∞), đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 4 + 10√2. Khi đó chiều rộng tờ giấy là 4 + 10√2 cm, chiều dài là 6 + 15√2 cm.

BVới x > 4, diện tích tờ giấy là

S (x) = \frac{x (6 x + 276)}{x - 4}

. Hàm số S(x) đồng biến trên (4; +∞), nên không có kích thước nhỏ nhất.

CVới x > 6, diện tích tờ giấy là

S (x) = \frac{x (4 x + 300)}{x - 6}

. Diện tích nhỏ nhất khi x = 6 + 10√2.

DDiện tích tờ giấy là S(x) = 300 + 2x + 3x, đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 4.

Câu 7

(Bài 1.37 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1) Giả sử chi phí để sản xuất x sản phẩm của một nhà máy được cho bởi C(x) = 0,2x² + 10x + 5 triệu đồng. Khi đó, chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là

f (x) = \frac{C (x)}{x}

.
(a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x).
(b) Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?

AVới x ≥ 1,

f (x) = 0, 2 x + 10 + \frac{5}{x}

. Hàm số nghịch biến trên (1; 5), đồng biến trên (5; +∞), đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 5 với f(5) = 12. Do đó cần sản xuất 5 sản phẩm để chi phí trung bình thấp nhất.

BVới x ≥ 1,

f (x) = 0, 2 x + 10 + \frac{5}{x}

. Hàm số đồng biến trên (1; +∞), nên chi phí trung bình thấp nhất khi x = 1.

CVới x ≥ 1,

f (x) = 0, 2 x^{2} + 10 x + 5

. Hàm số đồng biến trên (1; +∞), nên chi phí trung bình thấp nhất khi x = 1.

DVới x ≥ 1,

f (x) = 0, 2 x + 10 + \frac{5}{x}

. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 5, nên cần sản xuất 5 sản phẩm để chi phí trung bình lớn nhất.

Câu 8

(Bài 1.38 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1) Cho điểm A(3; 2) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua A cắt trục hoành tại B, cắt trục tung tại C tạo thành một tam giác OBC nằm trong góc phần tư thứ nhất, với O là gốc tọa độ.

(a) Biết hoành độ điểm B là x = t với t > 3. Tính diện tích tam giác OBC theo t. Kí hiệu diện tích này là S(t).
(b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = S(t).
(c) Tìm vị trí điểm B để diện tích tam giác OBC là nhỏ nhất.

AVới t > 3,

S (t) = \frac{t^{2}}{t - 3}

. Hàm số S(t) nghịch biến trên (3; 6), đồng biến trên (6; +∞), đạt giá trị nhỏ nhất tại t = 6. Do đó B(6; 0).

BVới t > 3,

S (t) = \frac{t}{t - 3}

. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t = 4. Do đó B(4; 0).

CVới t > 3, S(t) = t² - 3t. Hàm số đồng biến trên (3; +∞), nên diện tích nhỏ nhất khi t tiến đến 3.

DVới t > 3,

S (t) = \frac{t^{2}}{t - 3}

. Hàm số đồng biến trên (3; +∞), nên không có giá trị nhỏ nhất.

Câu 9

(Bài 1.39 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1) Một quần thể cá được nuôi trong một hồ nhân tạo lúc ban đầu có 80000 con. Sau t năm, số lượng quần thể cá nói trên được xác định bởi

N (t) = \frac{20 (4 + 3 t)}{1 + 0, 05 t}

nghìn con.
(a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = N(t).
(b) Số lượng tối đa có thể có của quần thể cá là bao nhiêu?

AHàm số N(t) xác định trên [0; +∞), đồng biến trên (0; +∞), không có cực trị và

\underset{t \to + \infty}{l i m} N (t) = 1200

. Do đó số lượng quần thể cá có thể tiến gần tới mức tối đa 1200000 con.

BHàm số N(t) nghịch biến trên (0; +∞), không có cực trị và

\underset{t \to + \infty}{l i m} N (t) = 80

. Do đó số lượng tối đa là 80000 con.

CHàm số N(t) đồng biến trên (0; +∞), đạt cực đại tại t = 5 và số lượng tối đa là 120000 con.

DHàm số N(t) đạt cực tiểu tại t = 0 và cực đại tại t = 1200, nên số lượng tối đa là 1200 con.

Câu 10

(Bài 1.40 trang 27 SBT Toán 12 Tập 1) Một khối bưu kiện hình hộp chữ nhật được quy định về kích cỡ như sau: tổng chiều dài và chu vi thiết diện ngang hình vuông là 240 cm. Gọi x là độ dài cạnh của thiết diện ngang.

(a) Tính thể tích của khối bưu kiện theo x.
(b) Kí hiệu V(x) là thể tích của khối bưu kiện. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = V(x).

AVới 0 < x < 60, chiều dài khối bưu kiện là 240 - 4x, nên V(x) = x²(240 - 4x). Hàm số V(x) đồng biến trên (0; 40), nghịch biến trên (40; 60), đạt giá trị lớn nhất tại x = 40 với Vmax = 128000 cm³.

BVới 0 < x < 240, chiều dài khối bưu kiện là 240 - x, nên V(x) = x²(240 - x). Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 160.

CVới 0 < x < 60, V(x) = x(240 - 4x). Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 30.

DVới 0 < x < 60, V(x) = x²(240 - 4x). Hàm số nghịch biến trên (0; 40), đồng biến trên (40; 60), đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 40.