Bài 5 Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Câu 1

(Bài 1.41 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1) Bác Hưng có một hàng rào thép dài 240 m và muốn rào cánh đồng thành một thửa ruộng hình chữ nhật giáp một con sông thẳng. Bác không cần rào phía cạnh con sông. Hỏi thửa ruộng có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

ADiện tích lớn nhất là 7200 m², khi cạnh giáp sông dài 120 m và hai cạnh còn lại mỗi cạnh dài 60 m.

BDiện tích lớn nhất là 3600 m², khi thửa ruộng là hình vuông cạnh 60 m.

CDiện tích lớn nhất là 14400 m², khi cạnh giáp sông dài 120 m và hai cạnh còn lại mỗi cạnh dài 120 m.

DDiện tích lớn nhất là 4800 m², khi cạnh giáp sông dài 80 m và hai cạnh còn lại mỗi cạnh dài 80 m.

Câu 2

(Bài 1.42 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1) Doanh số bán hệ thống âm thanh nổi mới trong một khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo đường cong logistic

R = R (x) = \frac{5000}{1 + 5 e^{- x}}

, x ≥ 0, trong đó thời gian x được tính bằng năm. Hỏi tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm nào?

ATốc độ bán hàng đạt tối đa khi x = ln5 ≈ 1,61, tức là vào khoảng năm thứ hai.

BTốc độ bán hàng đạt tối đa khi x = 5, tức là vào năm thứ năm.

CTốc độ bán hàng đạt tối đa khi x = 1, tức là vào năm thứ nhất.

DTốc độ bán hàng đạt tối đa khi x = 0, tức là ngay thời điểm bắt đầu.

Câu 3

(Bài 1.43 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1) Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là 2000 cm³. Các kích thước của chiếc hộp là bao nhiêu nếu muốn lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp là nhỏ nhất?

AChiếc hộp có dạng hình lập phương với cạnh đáy là

10 \sqrt[3]{2}

cm và chiều cao là

10 \sqrt[3]{2}

cm.

BChiếc hộp có cạnh đáy là 10 cm và chiều cao là 20 cm.

CChiếc hộp có cạnh đáy là 20 cm và chiều cao là 5 cm.

DChiếc hộp có cạnh đáy là

20 \sqrt[3]{2}

cm và chiều cao là

5 \sqrt[3]{2}

cm.

Câu 4

(Bài 1.44 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1) Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng 3 km, một thị trấn ở điểm A cách điểm P 12 km. Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc 2,5 km/h và đi bộ với vận tốc 4 km/h thì thuyền nên neo đậu ở vị trí nào trên đoạn PA để người đó đến thị trấn trong thời gian ngắn nhất?

AThuyền nên neo tại điểm trên đoạn PA cách P khoảng

\frac{15}{\sqrt{39}}

km, tức khoảng 2,40 km; khi đó điểm neo cách A khoảng 9,60 km.

BThuyền nên neo tại điểm P, rồi đi bộ 12 km đến thị trấn.

CThuyền nên neo tại điểm A, tức là chèo thuyền thẳng đến thị trấn.

DThuyền nên neo tại trung điểm của PA, cách P 6 km và cách A 6 km.

Câu 5

(Bài 1.45 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1) Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất, tức là có diện tích bề mặt nhỏ nhất, khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy. Chọn lập luận đúng.

AGọi r là bán kính đáy, h là chiều cao. Vì

V = π r^{2} h

nên

h = \frac{V}{π r^{2}}

. Diện tích bề mặt là

S = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π r^{2} + \frac{2 V}{r}

. Khảo sát S theo r > 0 cho thấy S nhỏ nhất khi

r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 π}}

, khi đó h = 2r.

BGọi r là bán kính đáy, h là chiều cao. Vì

V = π r^{2} h

nên diện tích nhỏ nhất khi h = r.

CDiện tích bề mặt hình trụ luôn nhỏ nhất khi chiều cao bằng bán kính đáy.

DVới thể tích V cố định, diện tích bề mặt không phụ thuộc vào bán kính đáy và chiều cao.

Câu 6

(Bài 1.46 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1) Ở 0°C, sự mất nhiệt H, tính bằng Kcal/m²h, từ cơ thể của một người có thể được mô hình hoá bằng công thức

H = 33 (10 \sqrt{v} - v + 10, 45)

, trong đó v là tốc độ gió, tính bằng m/s.
(a) Xét tính đơn điệu của hàm số H và giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả nhận được.
(b) Tìm tốc độ thay đổi của H khi v = 2 m/s. Giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả này.

A(a) H tăng trên khoảng (0; 25) và giảm trên khoảng (25; +∞), nên mức nhiệt mất từ cơ thể tăng khi tốc độ gió tăng đến 25 m/s rồi giảm khi tốc độ gió tiếp tục tăng. (b) H'(2) =

33 (\frac{5}{\sqrt{2}} - 1) \approx 83, 673

, nghĩa là tại v = 2 m/s, khi tốc độ gió tăng thêm 1 m/s thì mức mất nhiệt tăng khoảng 83,673 Kcal/m²h.

B(a) H luôn tăng trên (0; +∞). (b) H'(2) ≈ 33, nghĩa là mức mất nhiệt tăng khoảng 33 Kcal/m²h.

C(a) H luôn giảm trên (0; +∞). (b) H'(2) ≈ -83,673, nghĩa là mức mất nhiệt giảm.

D(a) H tăng trên khoảng (0; 2) và giảm trên khoảng (2; +∞). (b) H'(2) = 0, nghĩa là mức mất nhiệt không đổi.

Câu 7

(Bài 1.47 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1) Doanh thu R (USD) từ việc cho thuê x căn hộ có thể được mô hình hoá bằng hàm số R = 2x(900 + 32x - x²).
(a) Tìm hàm doanh thu biên.
(b) Tìm doanh thu biên khi x = 14 và giải thích ý nghĩa thực tiễn của nó.
(c) Tìm lượng doanh thu tăng thêm khi số căn hộ cho thuê tăng từ 14 lên 15.

A(a) R'(x) = 1800 + 128x - 6x². (b) R'(14) = 2416 USD, nghĩa là doanh thu tăng thêm khi cho thuê căn hộ thứ 15 được ước tính khoảng 2416 USD. (c) Doanh thu thực tế tăng thêm là R(15) - R(14) = 2394 USD.

B(a) R'(x) = 900 + 32x - x². (b) R'(14) = 1152 USD. (c) Doanh thu tăng thêm là 2416 USD.

C(a) R'(x) = 1800 + 64x - 2x². (b) R'(14) = 2304 USD. (c) Doanh thu tăng thêm là 2304 USD.

D(a) R'(x) = 2x(32 - 2x). (b) R'(14) = 224 USD. (c) Doanh thu tăng thêm là 224 USD.

Câu 8

(Bài 1.48 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1) Một công ty ước tính rằng chi phí C (USD) để sản xuất x đơn vị sản phẩm có thể được mô hình hoá bằng công thức C = 800 + 0,04x + 0,0002x². Tìm mức sản xuất sao cho chi phí trung bình

\bar{C} (x) = \frac{C (x)}{x}

cho mỗi đơn vị hàng hoá là nhỏ nhất.

AMức sản xuất là 2000 đơn vị sản phẩm.

BMức sản xuất là 1000 đơn vị sản phẩm.

CMức sản xuất là 4000 đơn vị sản phẩm.

DMức sản xuất là 800 đơn vị sản phẩm.

Câu 9

(Bài 1.49 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1) Nếu C(x) (USD) là chi phí sản xuất x đơn vị hàng hoá thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị là

\bar{C} (x) = \frac{C (x)}{x}

.
(a) Chứng minh rằng nếu chi phí trung bình là nhỏ nhất thì chi phí biên bằng chi phí trung bình.
(b) Nếu C(x) = 16000 + 200x + 4x^(3/2), hãy tìm: chi phí, chi phí trung bình và chi phí biên khi sản xuất 100 đơn vị hàng hoá; mức sản xuất làm giảm thiểu chi phí trung bình; chi phí trung bình nhỏ nhất.

A(a) Khi

\bar{C} (x)

nhỏ nhất thì

\bar{C} (x) = 0

, suy ra

C^{'} (x) = \frac{C (x)}{x}

, tức là chi phí biên bằng chi phí trung bình. (b) Khi x = 100: C(100) = 40000 USD, chi phí trung bình là 400 USD, chi phí biên là 260 USD. Chi phí trung bình nhỏ nhất khi sản xuất 400 đơn vị hàng hoá và giá trị nhỏ nhất là 320 USD.

B(a) Khi

\bar{C} (x)

nhỏ nhất thì C'(x) = 0. (b) Khi x = 100: C(100) = 40000 USD, chi phí trung bình là 260 USD, chi phí biên là 400 USD. Chi phí trung bình nhỏ nhất khi sản xuất 100 đơn vị hàng hoá.

C(a) Khi chi phí trung bình nhỏ nhất thì chi phí biên bằng 0. (b) Khi x = 100: C(100) = 20000 USD, chi phí trung bình là 200 USD, chi phí biên là 260 USD. Chi phí trung bình nhỏ nhất là 200 USD.

D(a) Khi chi phí trung bình nhỏ nhất thì chi phí biên lớn hơn chi phí trung bình. (b) Khi x = 100: C(100) = 40000 USD, chi phí trung bình là 400 USD, chi phí biên là 260 USD. Chi phí trung bình nhỏ nhất khi sản xuất 200 đơn vị hàng hoá.